资料简介
第二章 一元二次方程
2.1认识一元二次方程
2.1.1 一元二次方程
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点）
3.了解一元二次方程的根的概念. （重点）
4.能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
判断下列式子是否是一元一次方程：
2 0.3 5x =+
9 6.5
2
x =+
11 2
x
=+ -
一元一次方程
（1）只有一个未知数
（2）未知数的指数是一次
（3）方程的两边都是整式
新课导入
情境导入
在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下)
的高度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美
感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关
系： AC∶ BC＝BC∶ 2，即BC2＝2AC.
设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x).
整理，得x2＋2x－4＝0.
A
C
B
新课导入
x2＋2x－4＝0
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的
最高次数是2.
思考
（1）如何解这类方程?
（2）如何用这类方程解决一些实际问题?
新课讲解
知识点1 一元二次方程的定义
合作探究
问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，
宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然
后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方
盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，
那么铁皮各角应切去多大的正方形?
新课讲解
设切去的正方形的边长是 x cm，则盒底
的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.
根据方盒的底面积为3 600cm2，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600.
整理，得 4x2－300x＋1 400=0.
化简，得 x2－75x＋350=0.
解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸.
x cm (100-2x) cm
(50-2x) cm
化简后的方程中未
知数的个数和最高
次数各是多少？
分析：
新课讲解
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一
场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
比赛组织者应邀请多少个队参赛？
全部比赛场数为 4×7=28.
设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所
以全部比赛共 场.
列方程 .整理，得 .
解上面方程即可得出参赛队数.
( )x x1 1
2
-
( )x x1 1 28
2
- = x x2 56- =
分析：
（2）方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 ．
（1）这些方程的两边都是 ．整式
2
观察由上面的问题得到的方程有什么特点？
新课讲解
讨论
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
结论
x2−x=56 x2−75x+350=0 x2+2x−4=0
一个
新课讲解
例 1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；
④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二
次方程的有 个.
1
x
1
①含有两个未知数. ②不是整式方程.
④未知数的最高次数不是2.
⑤整理后未知数的最高次数不是2.
③符合一元二次方程的“三要素”.
分析：
× √×
× ×
典例分析
新课讲解
练一练
如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程，
那么m的值为( )
A．±3 B．3
C．－3 D．以上都不对
下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0
1
x
D
C
1
2
新课讲解
知识点2 一元二次方程的一般形式
为什么要限制
a ≠0， b， c
可以为0吗？
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
新课讲解
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数
二次项
一次项
常数项指出方程各项的
系数时要带上前
面的符号哟.
二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：
新课讲解
例 2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并
写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
典例分析
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
所以二次项系数为3，一次项系数为－8，
常数项为－10.
新课讲解
知识点03 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方
程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
练一练
下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解?
-2，0 ，1，2，3，4.
解：1和3.
新课讲解
例 3 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求
3a2+6a+ 2 019的值.
典例分析
解：由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2.
∴ 3a2+6a+2 019
=3(a2+2a)
=3×2 +2 019
=2 025.
课堂小结
一
元
二
次
方
程
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
是整式方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
二次项系数
一次项系数
常数项
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别
是（ ）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
C
当堂小练
2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
解：－4， 3.
当堂小练
3. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的平
方的长方形?
解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06.
整理，得50x2-25x+3=0.
D
拓展与延伸
1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .
2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .
3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .
1
-1
2
第二章 一元二次方程
2.1认识一元二次方程
2.1.2 一元二次方程的解及其估算
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.一元二次方程的解
2.一元二次方程解的估算（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
1.一元二次方程的定义是什么？
2.一元二次方程的形式有哪些？
新课导入
• 什么是方程的解？
• 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的
解.
• 什么叫做一元一次方程？
• 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的
整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：
ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
新课讲解
知识点1 一元二次方程的解
合作探究
1.学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底
增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底的图书
数是5万册,则今年年底的图书数应是5(1+x)万册.明年
年底的图书数为5(1+x)(1+x)万册,即5(1+x)2(万册).可
列得方程 5(1+x)2=7.2
整理可得 5x2+10x-2.2=0
新课讲解
1. 一元二次方程的解：能使一元二次方程两边的值相
等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一
元二次方程的根．
2. 验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只
需将这个未知数的值分别代入方程两边，若所得的
值相等，则这个未知数的值就是方程的根，否则就
不是方程的根．
新课讲解
例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这
些数作为未知数的值分别代入方程中，能够
使方程左右两边相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
新课讲解
讨论
结论
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，
则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为( )
A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
根据根的意义，将x＝2直接代入方程的左右两边，就可得到以b为
未知数的一元一次方程，求解即可．
B
新课讲解
例
典例分析
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－4，x2＝3
D
新课讲解
练一练
1 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可
知方程x2－x＝2的解是( )
A. x＝－1 B. x＝0
C. x＝2 D. x1＝－1，x2＝2
x －2 －1 0 1 2 3 …
x2－x 6 2 0 0 2 6 …
D
新课讲解
知识点2 一元二次方程解的估算
对于前一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)
吗？我们知道，x满足方程(8－2x)(5－2x)＝18.
(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由．
(2)你能确定x的大致范围吗？
(3)填写下表：
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？
与同伴交流．
x 0.5 1 1.5 2
(8－2x)(5－2x) 28 1018 4
新课讲解
（1）因为x 表示宽度，所以x不可能小于0；根据题意，8-2x 和
5-2x 分别表示地毯的长和宽，所以8-2x >0, 5-2x>0,因此 x 不
可能 大于4，也不可能大于2.5.
（2）通过上面的分析，可以得到0
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