天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第四章 图形的相似 / 1 成比例线段 / 北师大版九年级数学上册第四章教学课件
资料简介
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
4.1.1 成比例线段及其比例的基本性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.认识形状相同的图形，结合实例能识别现实生活中形
状相同的图形。
2.了解线段比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比
的求法。（重点）
3.理解并掌握比例线段的性质。（重点、难点）
学习目标
新课导入
情境导入
在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片。
新课讲解
知识点1 两条线段的比
合作探究
你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？
这些形状相同的图形有什么不同？
新课讲解
分析：
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可
以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以
看成是由较大的图形“缩小”得到的。在这个过程中，两
个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对
于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段
长度的比来描述它们的大小关系.
新课讲解
m , 1m ,
,
1 A B a A D
A E A D
A D A B
a
如 图 ， 一 块 矩 形 绸 布 的 长 宽 按 照 图 中
所 示 的 方 式 将 它 裁 成 相 同 的 三 面 矩 形 彩 旗 ， 且 使 裁 出 的 每 面
彩 旗 的 宽 与 长 的 比 与 原 绸 布 的 宽 与 长 的 比 相 同 ， 即
那 么 的 值 应 当
例
是 多 少 ？
2
2
m
1 m , 1m ,3
1
1 13, , 1 .1 3
3 . 3 - 3 .
根 据 题 意 可 知 ， ，
由 得 即
开 平 方 ，
：
（ 舍 ）
解
得 去
A B a
A E a A D
aA E A D aaA D A B
a a a
新课讲解
讨论
结论
如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,则下列比例式成立的是（ ）
c
b
d
a
a
c
d
b
d
c
b
a
b
a
c
d A. B. C. D.
C
1.两条线段的比：
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么
这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成 .
其中线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把 表示成
比值k，那么 ＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的
比．
AB m
CD n
AB
CD
新课讲解
练一练
171. , ______;9
x y x
y y
若 则
8
9
1 32. , ______;4 2
a a b
b b
若 则
7
8
新课讲解
知识点2 成比例线段
做一做
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形
EFGH的顶点都在格点上，那么AB, AD, EF, EH的长度
分别是多少？分别计算 的值，你发现
了什么？
, , ,AB AD AB EF
EF EH AD EH
新课讲解
分析： 1. 四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d 的比，
即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例
线段，简称比例线段．
2. 要点精析：
(1)成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比
例线段，那么得到的比例式是 其中a，d叫
做比例外项，b，c叫做比例内项．
(2)特殊比例线段，如果b＝c，即a∶b＝b∶d，那么b
叫做a，d的比例中项．
a c
b d
,a c
b d
新课讲解
例
典例分析
下列各组不同长度的线段是成比例线段的是( )
A．3 cm, 6 cm, 7 cm ，9 cm
B．2 cm, 5 cm , 0.6 dm, 8 cm
C．3 cm, 9 cm, 1.8 dm, 6 cm
D．1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm
C
新课讲解
分析：
根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析．
A. 故不是成比例线段；
B．0.6 dm＝6 cm， 故不是成比例线段；
C．1.8 dm＝18 cm，从小到大排序为3 cm，6 cm ，
9 cm，18 cm， 故是成比例线段；
D. 故不是成比例线段．
新课讲解
结论
(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同，若
长度单位不同，应先统一单位再判断；
(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按长
短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于两条
较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是．
新课讲解
知识点03 比例的基本性质
议一议
如果a, b, c, d四个数成比例，即 那么ad=bc
吗？反过来，如果ad=bc，那么a, b, c, d四个数成比
例吗？与同伴交流.
,a c
b d
新课讲解
例
典例分析
如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式
将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原
绸布的宽与长的比相同，即 那么a的值应当是多少？,AE AD
AD AB
解：根据题意可知，AB= am，AE= am，AD=1m.
由 得
即 a2=1.
∴ a2=3. 开平方，得a= (a=－ 舍去).
课堂小结
两条线段
的比：
比例
线段
①长度单位统一；
②与单位无关，本身没有单位；
③两条线段有顺序要求；
①概念：项、比例内项、比例外项；
②四条线段有顺序要求；
比例
线段
d
c
b
a
比例
的基
本性
质
①代入法
②参数法
当堂小练
1.下列四条线段能组成成比例线段的是( )
A.1,1,2,3 B.1,2,3,4
C.2,2,3,3 D.2,3,4,5
2.如果线段a=2 cm,b=10 cm,那么a10的值为( )
A.15 B.5 C.2 D.12
C
A
当堂小练
3.如图,在线段AB上有C,D两点,已知AB=7,AC=1,且线段CD是线段AC
和BD的比例中项,求线段CD的长.
解:∵AB=7,AC=1,
∴BD=AB-AC-CD=6-CD.
∵线段CD是线段AC和BD的比例中项,
∴CD2=AC·BD,即CD2=1×(6-CD),
解得CD=2或CD=-3(舍去).
∴线段CD的长是2.
D
拓展与延伸
5 500
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
4.1.2比例的其他性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解比例的其他性质.
2.掌握等比性质、合比性质、分比性质. （重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
;,3 d
dc
b
ba
d
c
b
a 和求
??, 为什么成立吗那么
d
dc
b
ba
d
c
b
a
( ),
?
a c k kb d
a b c d
b d
为常数
成立吗
3b
a 3b
a ;4
b
ba .4
d
dc
kd
c
b
a ;)1( kd
dc
b
ba
kd
c
b
a ;)1( kd
dc
b
ba
用“设k法”计算新比例
新课讲解
知识点1 等比性质
合作探究
??, 为什么成立吗那么
b
a
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a 设
b
a
ndb
mcandbn
m
d
c
b
a
)0(
新课讲解
典例分析
3 ,4
1
2
8 c
m
A B B C C AA B C D E F D E E F F D
A B C D E F
在 与 中 ， 已 知
且 的 周 长 为 ， 求
例
的 周 长 .
3 ,4
3 ,4
4 ( ) 3 ( )
4 ( ) ( )3
1 8 c m , 1 8 c m ,
4 4( ) ( ) 1 8 2 4 ( c m ) .3 3
2 4 c m .
A B B C C A
D E E F F D
A B B C C A A B
D E E F F D D E
A B B C C A D E E F F D
D E E F F D A B B C C A
A B C A B B C C A
D E E F F D A B B C C A
D E F
即
又 的 周 长 为 即
即 的 为
解
周 长
：
新课讲解
练一练
kc
ba
b
ca
a
cb 若
则k=________2或-1
新课讲解
知识点2 合比性质、分比性质
d
dc
b
ba
d
c
b
a
特点:分母不变,分子加(或减)分母
比例的合比性质
d
c
b
a ;d
dc
b
ba
d
c
b
a .d
dc
b
ba
课堂小结
比
例
的
其
他
性
质
等比性质
合比性质、分比性质
f
e
d
c
b
a 设
d
dc
b
ba
d
c
b
a
当堂小练
1.若ab=53,则a-ba的值为( )
A.23 B.25 C.35 D.-23
2.若xy=23,则下列式子一定成立的是( )
A.3x=2y B.x=32y C.2x=3y D.xy=6
B
A
当堂小练
3.已知x2=y3=z4.
(1)求x+2y+3z2x-3y+5z的值;
(2)若x-2y+4z=24,求x+y+z的值.
解:设x2=y3=z4=k,
∴x=2k,y=3k,z=4k.
(1)x+2y+3z2x-3y+5z=2k+6k+12k4k-
9k+20k=43.
(2)∵x-2y+4z=24,
∴2k-6k+16k=24,
∴k=2.
∴x+y+z=2k+3k+4k=9k=18.
D
拓展与延伸
已知三个数 ,请你再添上一个(只填
一个)数,使它们能构成一个比例式,则这个数是
_________________.
3 2 32 3 2 3
或 或
3,2,1
第四章 图形的相似
4.2平行线分线段成比例
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，
并能够进行简单的计算和推理。 （重点）
2.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论
计算线段的长度（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
推论2
平行线等分线段定理的应用
Ø把线段n等分
Ø证明同一直线上的线段相等
平行线等分线段定理
新课导入
情境导入
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得
这两部分的比是2:3？
新课讲解
知识点1 平行线分线段成比例的基本事实
合作探究
1. 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一
组平行线所截， 所得的对应线段成比例．
数学表达式：如图，∵l3∥l4∥l5，
∴
可简记为：
∴
, , ,AB DE AB DE BC EF
BC EF AC DF AC DF
, , . 上 上 上 上 下 下
下 下 全 全 全 全
新课讲解
分析：
(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与
这组平行线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离
相等．
新课讲解
例1 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下
列结论中错误的是( )
A. BH AH
HC HD
C. HC HD
HE DF
B. AD BC
DF CE
D. AF BE
DF CE
C
新课讲解
分析：
平行线分线段成比例的基本事实除基本图形外，主要还有“A”
型和“X”型两种类型的图形，图包含这三种图形，从每种图形
中找出比例线段即可判断出错误的选 项．∵AB∥CD∥EF，
∴ 故选项A，B，D正确；
∵CD∥EF，∴ 故选项C错误．
新课讲解
讨论
结论
如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于
点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，
则EF的长为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
C
利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：
先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结
合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方
程，解方程求出待求线段长．
新课讲解
练一练
B
新课讲解
知识点2 平行线分线段成比例的基本事实推论
平行于三角形一边的直线截其他
两边(或两边的延长线)所得的对应线段
成比例.
新课讲解
例
典例分析 技巧1 中间比代换法证比例式
1． 如图，已知在△ABC中，点D，E，分别是
边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB.
(1)求证： ；AD DE
AB BC
新课讲解
(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB.
解：∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.
∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
新课讲解
技巧2 等积代换法证比例式
2．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E
是△ABC内一点，DE∥BC，过点D作AC 的
平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P.
求证： .PE PA
PF PB
新课讲解
证明：∵DE∥BC，∴
∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
∴PE·PB＝PF·PA. ∴
PF PE
PD PC
PF PD
PD PA
PE PA
PF PB
新课讲解
技巧3 等比代换法证比例式
3．如图，E为▱ ABCD的边CD延长线
上的一点，连接BE，交AC于O，交
AD于F.求证：BO2＝OF·OE.
新课讲解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴
∴
即BO2＝OF·OE.
,BO AO AO OF
OE OC CO BO
BO OF
OE BO
新课讲解
技巧4 平行法证比例式
4．如图，已知B，C，E三点在同一条直
线上，△ABC与△DCE都是等边三
角形．其中线段BD交AC于点G，
线段AE交CD于点F.求证：
(1)△ACE≌△BCD；
新课讲解
证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝
60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
新课讲解
技巧5 等比例过渡法证线段相等
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，
点D为边AB的中点，DE∥BC交
AC于点E，CF∥BA交DE的延长
线于点F.求证：DE＝EF.
新课讲解
证明：∵DE∥BC，∴
∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，
即 ＝1.∵CF∥BA，
∴
∴DE＝EF.
.AD AE
DB EC
AD
DB
.DE AE AD
EF EC DB
课堂小结
平
行
线
分
线
断
成
比
例
基本事实
推论
截
得
的
对应线段成比例
两条直线被一组平
行线所截
对应线段成比例
平行于三角形一边的
直线与其他两边相交
所
得
的
当堂小练
1.如图,已知AB∥CD∥EF,BD∶DF=1∶2,那么下列结论正确的是
( )
A.AC∶AE=1∶3 B.CE∶EA=1∶3
C.CD∶EF=1∶2 D.AB∶CD=1∶2
2.如图,已知AB∥CD∥EF,它们依次交直线l1于点A,D,F,交直线l2于
点B,C,E,如果AD∶DF=3∶1,BE=10,那么CE等于( )
A.103 B.203 C.52 D.152
A
C
当堂小练
3.如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,且AE∶ED=2∶3,CE的延
长线交AB于点F,若AF=3 cm,求AB的长.
解: 如答图,过点D作DH∥CF交AB于点
H,则FHHB=CDBD=1,AFFH=AEED=23,
∴FH=HB,3FH=23,解得
FH=4.5.∴AH=AF+FH=7.5,HB=FH=4.5,
∴AB=AH+HB=12. 故AB的长为12 cm.
D
拓展与延伸
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个
拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF 垂直于AB，
垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.
第四章 图形的相似
4.3 相似多边形
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解相似多边形和相似比的定义。
2.会根据条件判断出两个多边形是否为相似多边形，会求两个
相似多边形的相似比。（重点）
3.掌握相似多边形的性质，根据此进行简单的（重点）
学习目标
新课导入
情境导入
我们在生活中，常会看到这样一些的图片观察下列各组图片，
你发现了什么？你能得出什么结论？
(1)
(2) (3)
(5)(4) (6)
新课讲解
知识点1 相似多边形的定义
合作探究
图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形
ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的
形状相同吗？
（1）在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法
验证你的猜测.
（2）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？
新课讲解
分析：
判定相似多边形的条件：
(1)所有的角分别相等；
(2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判
定相似多边形必备的条件，缺一不可．
新课讲解
B
新课讲解
讨论
结论
D
相似多边形的定义：
图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中
∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1, ∠E与∠E1，∠F与∠F1
分别相等，称为对应角；AB与A1B1， BC与B1C1, CD与C1D1, DE与D1E1,
EF与E1F1, FA与F1A1的比都相等，称为对应边.
新课讲解
知识点2 相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比
相等，对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度
和角的度数．
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，
AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，
AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；
(2)求A′B′和BC的长；
(3)求∠D′的大小．
新课讲解
分析
(1)相似比就是对应边的比，根据图形可知AD与
A′D′是对应边；
(2)由相似多边形的性质可知对应边的比相等，都等
于相似比．已知对应边中的一条边的长度就能求出另
一条边的长度．
(3)根据相似多边形的性质，可知对应角相等，要求
∠D′的度数，可求其对应角∠D的度数．
新课讲解
解：(1)相似比k＝
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似
比k＝ ∴
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
(3)由题意知，∠D′＝∠D.
∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.
新课讲解
知识点03 相似比
相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多
边形叫做相似多边形（Similar polygons）.例如，在上图
中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形
ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”．
相 似 比 的 概 念 ： 相 似 多 边 形 对 应 边 的 比 叫 做 相 似 比
（Similarity ratio）.
新课讲解
1.要点精析：
(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关；
(2)相似比为1的两个相似多边形为全等多边形．
2.想一想
(1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形
呢？任意两个正n边形呢？
(2)任意两个菱形相似吗？
新课讲解
3.做一做
一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外
围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相
似吗？为什么？
课堂小结
相
似
多
边
形
各边成比例
各角分别相等
定义既是判定方法又
是性质
定义
性质
相似比
相似多边形对应边的
比
当堂小练
1.若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,AB与A′B′,AD与A′D′分别是
对应边,AB=8 cm,A′B′=6 cm,AD=5 cm,则A′D′等于( )
A.152 cm B.154 cm C.203 cm D.485 cm
2.如图,在长为8 cm,宽为6 cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),
如果剩下的矩形与原矩形相似,那么剩下的矩形的面积是( )
A.28 cm2 B.27 cm2 C.21 cm2 D.20 cm2
B
B
当堂小练
3.如图,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,求边x,y的长度和α的
大小.
解:∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,
∴x8=y11=96,∠C=α,∠D=∠D′=140°.
∴x=12,y=332,α=∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-
75°-140°=83°.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
第四章 图形的相似
4.４ 探索三角形相似的条件
4.４.1 用角的关系判定两三角形相似
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解相似三角形的定义.
2.掌握用角的关系判定两三角形相似定理. （重点）
学习目标
新课导入
复习提问
相似多边形的定义是什么？
新课导入
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°,
或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起
来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角
相等，它们一定相似吗？
一定相似
新课讲解
知识点1 相似三角形的定义
合作探究
1.相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个
三角形叫
做相似三角形．
数学表达式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，
⇔△ABC∽△A′B′C′.
, , ,A A B B C C
AB BC AC kA B B C A C
新课讲解
分析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，
三边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件；
(3)相似三角形具有传递性，即若
△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则
△ABC∽△A″B″C″；
(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个
全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角
形．
新课讲解
3．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．若
当△ABC∽△A′B′C′时，
则当△A′B′C′∽△ABC时，
,AB BC AC kA B B C A C
' ' ' ' ' ' 1 .A B B C A C
AB BC AC k
新课讲解
练一练
1.下列说法中错误的是( )
A．两个全等三角形一定相似
B．两个直角三角形一定相似
C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D．相似的两个三角形不一定全等
2.如图，△ABC与△ADE相似，且∠ADE＝∠B，则下
列比例式中正确的是( )
B
A. B.
C. D.
AE AD AE AB
BE DC AB AC
AD DE AE DE
AC AC AC BC
D
新课讲解
知识点2 用角的关系判定两个三角形的相似定理
如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有
两个角分别相等呢？
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A和∠A′都
等于∠α ，∠B和∠B′都等于∠β ，此时∠C与∠C′相等吗？三边的
比 相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α ，∠β的大小，再试一试.
想一想
做一做
, ,AB AC BC
A B A C B C
新课讲解
例
典例分析
如图，D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC,
AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵ DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角
形相似）.
新课讲解
归纳
1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B
＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
2.常见的相似三角形类型：
(1)平行线型：如图①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
(2)相交线型：如图②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.
(3)“子母”型：如图③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
(4)“K”型：如图④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，
整体像一个横放的字母K，可以称为“K”型相似．
新课讲解
练一练
如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．(1)和(2) B．(2)和(3)
C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
A
新课讲解
练一练
如图，点P 是四边形ABCD边AB上一点，射线CP交DA的
延长线于点E，则图中相似的三角形有( )
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
D
课堂小结
相
似
三
角
形
三边分别成比例
三角分别相等
两角分别相等的两个
三角形相似．
定义
用叫判定两个三角形相似
当堂小练
1.下列条件一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠ACD=∠B,那么下列结论不正
确的是( )
A.△ADE∽△ABC B.△CDE∽△BCD
C.△ADE∽△ACD D.△ADE∽△DBC
C
D
当堂小练
3.如图,在△ABC中,CF⊥AB于点F,ED⊥AB于点D,∠1=∠2,求证
:△AFG∽△ABC.
证明:∵CF⊥AB,ED⊥AB,
∴∠EDB=∠CFA=90°,
∴∠1+∠B=∠2+∠AFG=90°.
又∵∠1=∠2,∴∠AFG=∠B.
又∵∠FAG=∠BAC,∴△AFG∽△ABC.
D
拓展与延伸
拓展与延伸
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
4.4.2 用边角关系判定两三角形相似
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.用边角关系判定两三角形相似定理
2.用边角关系判定两三角形相似的应用 （重点）
学习目标
新课导入
两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴
交流.
小明认为，两边成比例的两个三角形不一定相似.如
果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
我们先来考虑增加一角相等的情况.
相等的角可以
是其中一边的
对角，也可以
是两边的夹角.
新课讲解
知识点1 用边角关系判定两三角形相似定理
合作探究
画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，都等于给定的值k.设
法比较。
∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小. △ABC和△A′B′C′相似吗？
改变k值的大小，再试一试.
新课讲解
分析：
1.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的
两个三角形相似．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
且∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
2. 易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角
的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三
角形全等的SAS方法．
新课讲解
想一想 如果△ABC与△A′B′C ′两边成比例，且其中 一边所
对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三角形.由此你
能得到什么结论？
新课讲解
例
典例分析
如图，D、E 分别是△ABC 的边AC、AB上的点，
AE=1.5，AC=2,BC=3，且 求DE的长.
3 ,4
AD
AB
新课讲解
解：∵AE=1.5，AC=2.
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两
个三角形相似).
∵BC=3，
∴DE=
新课讲解
知识点2 用边角关系判定两三角形形似的应用
如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8 ，在AC上取一点D，
使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求
AE的长．
错解：设AE的长为x.∠DAE与
∠BAC是公共角，要使△ADE
和△ABC相似，则有 ，即 .
解得x＝6.所以AE的长为6.
AD AE
AC AB
x3
8 1 6
新课讲解
错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，
夹这个角的两边的比必须相等．但两边的对应关系无法确
定，所以应分两种情况考虑．
设AE 的长为x. ∠DAE与∠BAC是公共角，
要使△ADE和△ABC相似，
则有 或者 ，
即 或者 .
解得x＝6或x＝1.5.
所以AE的长为6或1.5.
AD AE
AC AB
AD AE
AB AC
x3
8 16
x3
16 8
正解：
新课讲解
练一练
1 如图，已知 ，AD＝3 cm，AC＝6 cm，
BC＝8 cm，则DE 的长为________cm.
AD AC
AE AB
4
新课讲解
练一练
2 如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，
如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为
_______________时，使得由点B、O、C组成的三角形与
△AOB相似(不包括全等)．
(-1,0)或(1，0)
课堂小结
用边角关系判定两三角形相似
1．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽
然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系
固定，后者对应关系不固定．
2．如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不
明确时，从对应角入手，相等的角或公共角为
对应角，则夹对应角的两边成比例，根据对
应分两种情况讨论．
当堂小练
C
D
拓展与延伸
如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点
P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O
移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长
度的速度向点A移动，设点P，Q 移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数表达式；
D
拓展与延伸
【点拨】设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，用待
定系数法求出k，b的值即可；
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
4.4.3 用三边关系判定两三角形相似
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.用三边关系判定两三角形相似定理．
2.网格中相似三角形的判定．（重点）
学习目标
新课导入
复习提问
上几节课我们学习了哪些三角形相似的判定
方法？
新课讲解
知识点1 一元二次方程的定义
合作探究
如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相
似吗？
画△ABC 与△A′B′C′，使
都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小. △ABC和
△A′B′C′相似吗？说说你的理由.
改变k值的大小，再试一试.
新课讲解
1.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相
似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2.要点精析：由三边成比例判定两个三角形相似的方法
与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把
三边对应相等改为三边对应成比例即可．
,AB BC CA kA B B C C A
新课讲解
例
典例分析
如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度
数.
解：
∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC—∠DAC =∠DAE —∠DAC ，
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴ ∠CAE=20°.
新课讲解
结论
利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：
首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序
排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、
大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个
三角形相似，否则不相似．
特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．
新课讲解
练一练
1
若△ABC 和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与△A′B′C′
相似的是( )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B′＝3 cm，
B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B′＝3 cm，B′C′
＝6 cm，A′C′＝ cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ cm，B′C′＝
A′C′＝ cm
D．AB＝1 cm，BC＝ cm，AC＝3 cm；A′B′＝ cm，
B′C′＝2 cm，A′C′＝ cm
2
9
6
5
5
153
6
B
新课讲解
知识点2 网格中相似三角形的判定
议一议
如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
新课讲解
例
典例分析
如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与
△ABC相似？试分别加以列举．
导引：此题是探索性问题，由相似三角形的判定方法可知△ACD
与△ABC已有公共角∠A，要使这两个三角形相似，只要根据相
似三角形的判定方法寻找条件即可．
新课讲解
解：如图.当满足以下三个条件之一时，
△ACD∽△ABC.
条件1：∠1＝∠B；
条件2：∠2＝∠ACB；
条件3： 即AC2＝AD·AB.
课堂小结
用三边关系判定两三角形相似
1．判定两个三角形相似的思路：
(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；
(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边
成比例；
(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；
(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应
成比例．
(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比
例，或斜边、一组直角边对应成比例．
当堂小练
1.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE与BC不平行.下列条件
能判定△ADE与△ACB相似的是( )
A.ADAC=AEAB B.ADAE=ABAC
C.DEBC=AEAB D.DEBC=ADAC
A
当堂小练
2.如图,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是F,E,连接EF.试证明:
(1)△BAF∽△BCE;
(2)△BEF∽△BCA.
证明:(1)∵AF⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AFB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B,
∴△BAF∽△BCE.
(2)由(1)知△BAF∽△BCE,
∴BFBE=BABC,∴BFBA=BEBC.
∵∠B=∠B,
∴△BEF∽△BCA.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
4.4.4黄金分割
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解黄金分割的概念及黄金比.
2.能作出线段的黄金分割点.并会求满足黄金分割的线段
的长，体会黄金分割的美 （重点）
学习目标
新课导入
复习提问
上几节课我们学习了哪些三角形相似的判定方法？
新课导入
情境导入
,A C B C
A B A C
A C B C 动 手 量 一 量 ， 五 角 星 图 案 中 ， 线 段 、 的
长 度 ， 然 后 计 算 与 它 们 的 值 相 等 吗 ？
,
,
.
A B C A B
A C B A CC
A B C C A B
A C A
B C
A B A C
B
在 线 段 上 ， 点 把 线 段 分 成 两 条
线 段 和 ， 如 果 那 么 称 线 段
被 点 点 叫 做 线 段 的 黄 金
分 割 点 ， 与 的 比 叫 做
黄 金 割
黄 金 比
分
新课导入
2
2
2
1 2
, .
1 , 1 ,
1 (1 ) ,
1 0 .
1 5 1 5, ( ) .2 2
5 1 0 .6 1 8 .2
计 算 黄 金 比 .
由 得
设 ， 则
即
解 这 个 方 程 ， 得
不 合 题 意 ， 舍 去
所 以 ， 黄
例
比
金
解 ： A C B C A C A B B CA B A C
A B A C x B C x
x x
x x
x x
A C
A B
新课讲解
知识点1 黄金分割的定义
合作探究
一个五角星如图所示.
(1)从图中找出相等的角、相等的线段.
(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
小亮认为，
你同意他的看法吗？说说你的理由.
新课讲解
黄金分割的定义：
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如
图)，如果 那么称线段AB被点C黄金分
割，点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比叫做黄金比.
,AC BC
AB AC
新课讲解
分析：
计算黄金比.
解：由 得AC2=AB·BC.
设AB=1，AC=x，则BC=1-x.
∴x2=1× (1-x).
即x2+x-1=0.
解这个方程，得
x1= x2= (不合题意，舍去).
所以，黄金比
新课讲解
结论
(1)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用
如果要求精确到小数点后某位，那么注意在结果的
最后再代入估计值0.618，这样能够最大限度地保证
结果的精确度．
(2)易错警示：一条线段有两个黄金分割点，在实际问
题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段．
新课讲解
练一练
已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法
错误的是( )
A．如果 ，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C 黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比
叫做黄金比
D．0.618是黄金比的近似值
AC BC
AB AC
C
新课讲解
知识点2 黄金分割的应用
想一想
如图是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple),如果把图中用
虚线表示的矩形画成图中的ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正
方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩
形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
新课讲解
例
典例分析
美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接
近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为
160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达
到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A．6 cm
B．10 cm
C．4 cm
D．8 cm
D
新课讲解
归纳
黄金分割：
(1)一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 那么
称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的
比叫做黄金比.
(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用 如果要求精确
到小数点后某位，那么注意在结果的最后再代入估计值0.618，这样
能够最大限度地保证结果的精确度．
,AC BC
AB AC
2
15
课堂小结
黄
金
分
割
点C在线段AB上
线段AB被点C黄金分割
当堂小练
1.下列说法正确的是( )
A.每条线段有且仅有一个黄金分割点
B.黄金分割点分一条线段为两条线段,其中较长的线段约是这条线段的0.618
C.若点C把线段AB黄金分割,则AC2=AB·BC
D.以上说法都不对
2.如图,点C是线段AB的黄金分割点,则下列各式正确的是( )
A.ACBC=ABAC B.BCAB=ACBC
C.ACAB=ABBC D.BCAB=ACAB
B
B
当堂小练
3.要设计一座高2 m的雕像(如图),使雕像的上半部分AC(肚脐以上)与
下半部分BC(肚脐以下)的高度比等于下半部分与全高AB的比,即点C(肚
脐)就叫作AB的黄金分割点,试求出该雕像下半部分设计的高度.(结果精
确到0.001 m)
解:设该雕像下半部分设计的高度为x m,那么雕
像上半部分的高度为(2-x)m.依题意,得2-xx=x2.
解得x1=-1+5≈1.236,x2=-1-5(不合意题,舍去).
经检验,x=-1+5是原方程的根.
答:该雕像下半部分设计的高度约为1.236 m.
D
拓展与延伸
( )
( )
2.
0.618
1.68 1.0
( )
2
在 人 体 躯 干 脚 底 到 肚 脐 的 长 度 与 身 高 的 比 例 上 ， 肚 脐 是
理 想 的 黄 金 分 割 点 ， 即 比 例 越 接 近 越 给 人 以 美 感 .张 女
士 的 身 高 为 米 ， 身 体 躯 干 脚 底 到 肚 脐 的 高 度 为 米 ，
那 么 她 应 选 择 约 多 高 的 高 跟 鞋 看 起 来 更 美 . 精 确 到 十 分 位
c m
1 0 2 0 .6 1 81 6 8
5 c m
5 c m
解 ： 设 她 应 选 择 高 跟 鞋 的 高 度 是 ，
则
解 得 ： .
故 答 案 为 ： .
x
x
x
x
第四章 图形的相似
4.7相似三角形的性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握相似三角形的性质，并能运用这个性质解
决简单的问题.
2.类比相似三角形的周长与面积比，猜想相似多边形的
周长与面积比，体验类比思想．（重点）
学习目标
新课导入
如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模
型房的
房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指
出它们的相似比.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
新课讲解
知识点1 相似三角形对应线段的比
想一想
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的
相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的
比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.
新课讲解
例
典例分析
如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S
在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR= BC时，求DE的长.
如果SR= BC呢？1
2
新课讲解
分析：
解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD,∴ SR∥BC.
∴ ∠ASR= ∠ B， ∠ARS= ∠ C.
∴ △ASR∽△ ABC(两角分别相等的两个三角形相似）.
(相似三角形对应高的比等于相似比），
当SR= BC时，得 解得DE= h.
当SR= BC时，得 解得DE= h.
新课讲解
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与 △A′B′C′的相似比为k；
点D,E在BC 边上，点D′,E′在B′C′边上.
(1)若∠BAD= ∠BAC, ∠B′A′D′= ∠B′A′C′,
则 等于多少？
（2）若BE= BC,B′E′= B′C′,则 等于多少?
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
1
3
1
3
1
3
1
3
AE
A E
讨论
AD
A D
新课讲解
结论
1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对
应中线的比都等于相似比．
即：相似三角形对应线段的比等于相似比．
2.要点精析：对应高、对应角平分线与对应中线是指相似三角
形对应边上的高、对应内角的平分线与对应边上的中线．
新课讲解
练一练
1
2
已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相
似比为4∶ 1，则△ABC与△DEF对应边上的高之
比为________．
如图， 若△ADE∽△ACB，且 ,
DE＝10，则BC＝________．
AD
AC
2
3
4∶ 1
15
新课讲解
知识点2 相似三角形周长的比
下面是小明同学提供的作法：
AB + BC + AC AB= = k.A B + B C + A C A B
如图，由已知，得
性质定理：相似三角形的周长比等于相似比．
新课讲解
例
典例分析
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比
为( )
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
A
新课讲解
知识点03 相似三角形面积的比
练一练
1．性质定理：
相似三角形的面积比等于相似比的平方；反之，相似三角形的相
似比等于面积比的算术平方根．
2．易错警示：在利用相似三角形的性质解决问题时，常出现面积比等
于相似比或由面积比求相似比时不进行开方，反而平方的错误．为了避
免这些错误，在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意结合图形，
搞清面积比与相似比的关系．
新课讲解
例
典例分析
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形
相似）.
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， △ABC与 △DEF重叠部分（图中阴
影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，
求△ABC平移的距离.
新课讲解
（相似三角形的面积
比等于相似比的平方），
∴EC2=2.
∴EC=
∴BE=BC－EC=2－
即△ABC平移的距离为2－
2 2
2
GEC
ABC
S EC EC= =S BC BC
△
△
∴
2
2
1
2
EC= .2
即
2，
.2
.2
课堂小结
相
似
三
角
形
的
性
质
对应角平分线的
比
对应中线的比
对应高的比
相关线段
周长比等于相似比周长
面积
等于相似比
面积比等于相比的平方
相
似
多
边
形
也
有
此
性
质
当堂小练
1.如果△ABC∽△DEF,且相似比为2∶3,则它们对应边上的高之
比为( )
A.2∶3 B.4∶9 C.3∶5 D.9∶4
2.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则这两个三角形对应角平分
线的比为( )
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4
A
B
当堂小练
3.如图,△ABC∽△A′B′C′,AD,A′D′分别是它们的中线,求证
:AD∶A′D′=AB∶A′B′.
证明:∵AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′
的中线,
∴BD=12BC,B′D′=12B′C′.
∵△ABC∽△A′B′C′,
∴∠B=∠B′,ABA′B′=BCB′C′=2BD2B′D
′=BDB′D′,
∴△ABD∽△A′B′D′,
∴AD∶A′D′=AB∶A′B′.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
第四章 图形的相似
4.8 图形的位似
4.8.1位似图形及其性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解位似图形、位似中心的定义及相关性质.
2.了解位似与相似的区别于联系，能熟练的利用图形的
位似将一个图形放大或缩小. （重点）
学习目标
新课导入
相似图形
这种相似
有什么特
征？
新课导入
情境导入
如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成.在图片
①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都
经过镜头中心点O，且 都等于一个固定值.请你实际试
一试.
O A
O A
新课导入
思考
1. 在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么
关系？
2. 幻灯机在哪儿呢？
3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？
新课讲解
知识点1 图形的位似定义
合作探究
如图是两个相似五边形，设直线AA ′与BB ′相交于点O，
那么直线CC ′，DD ′，EE ′是否也都经过点O？
OA OB OC, ,OA OB OC
， OD OE,OD OE
有 什 么 关 系 ？
新课讲解
1. 位似多边形的定义：
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的
直线都经过同一个点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的
两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心．k就是这两
个相似多边形的相似比．
要点精析：(1)位似图形必须同时满足：①两个图形是相似图
形；②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点．二
者缺一不可．
新课讲解
(2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两个位似图
形之间．
(3)常见的位似构成如图所示：
新课讲解
结论
2．位似与相似的关系：
(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在
相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点．
(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是
相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因
此位似是相似的特殊情况．
新课讲解
例
典例分析
判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如
果是，请指出其位似中心．
解：①是位似图形，位似中心为点A；②是位似图形，位似
中心为点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中
心为点O；⑤不是位似图形．
新课讲解
练一练
1
2
图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M B．点N
C．点O D．点P
如图，在下列四种图形变换中，该图案不包括的变换是
( )
A．平移 B．轴对称
C．旋转 D．位似
D
A
新课讲解
知识点2 位似图形的性质
1.位似图形对应顶点的连线必过位似中心．
2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于
相似比．
3. 位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对
应线段之比相等．
4. 两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于相
似比，面积比等于相似比的平方．
注：利用位似图形的性质可将图形放大或缩小．
新课讲解
例
典例分析
△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比
是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
导引： ∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与
△A′B′C′的相似比是1∶2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4.
∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12.
D
新课讲解
知识点03 位似图形的画法
1.画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也
可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一
个顶点上)；
第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点；
第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
新课讲解
例
典例分析
如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，
使它与△ABC位似，且相似比为2.
新课讲解
解：如图，画射线OA，OB，OC；
在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使
OD=2OA，
OE=2OB，OF=2OC；
顺次连接D，E，F，则△ DEF与△ABC位似，相似
比为２． 满足条件的
△DEF可以在点
Ｏ的另一侧吗？
课堂小结
图
形
的
位
似
2、作图形各定点与位似
中心的连线和延长线
3、取点并连线
1、确定位似中心位
两个相似多边形任意
一组对应点所在的直
线都经过同一个点
画法
定义
当堂小练
1.如图,点O是等边三角形PQR的中心,P′,Q′,R′分别是边OP,OQ,OR的中点,则
△P′Q′R′与△PQR是位似三角形,此时△P′Q′R′与△PQR的位似比,位似中心分别是
( )
A.2,点P B.12,点O
C.2,点O D.12,点P
B
当堂小练
2.在如图的网格中(每个小正方形的边长均为1),△O1A1B1与△OAB是以点P为位似
中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标,△O1A1B1与△OAB的位似比.
(2)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似三角形OA2B2,使它
与△OAB的位似比为2∶1,并写出点B的对应点B2的坐标.
解:(1)点P的位置如答图,点P的坐标为(-5,-1).
PA1∶PA=6∶3=2∶1,
所以△O1A1B1与△OAB的位似比为2∶1.
(2)△OA2B2如答图,点B2的坐标为(2,6).
D
拓展与延伸
第四章 图形的相似
4.8 图形的位似
4.8.2平面直角坐标系中的位似变换
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.掌握位似图形的坐标变换规律，会利用这个规律求某
些特殊点的坐标．
2.能够利用图形的位似解决一些简单的实际问题，增强
数学的应用意识．（重点）
学习目标
新课导入
如图所示的是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，
光源到幻灯片的距离是30 cm．幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，
幻灯中的小树的高度是10 cm，请你利用相似三角形的知识，
算出屏幕上小树的高度?
事实上，幻灯机工作的
实质是将图片中的图形放大．
本节知识将对上述问题作系
统的讲解．
新课讲解
知识点1 平面直角坐标系中的位置变换
合作探究
如图(1)，在直角坐标系中，有
两点A(6，3)，B(6， 0).以原点O为
位似中心，相似比为 ，把线段
AB缩小.观察对应点之间坐标的变
化，你有什么发现?
1
3
新课讲解
如图 (2)，△AOC三个顶点的坐标分别为A(4， 4)，O(0，0)，
C(5，0).以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大. 观察对应
顶点坐标的变化，你有什么发现?
新课讲解
可以看出，图(1)中，把AB缩小后，A，B的对应点为A′(2，1)，
B′(2，0)； A′′ (－2，－1)，B′′ (－2，0).
图(2)中，把△AOC放大后，A，O，C的对应点为A′(8，8)，
O(0，0)， C′(10，0)，A′′ ( －8，－8)， O(0，0)， C′′(10，0).
新课讲解
结论
在平面直角坐标系中. 如果位似变换是以原点为位似中
心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
－k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)则其位似图形对
应顶点的坐 标为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0).
注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边
的比.
新课讲解
例
典例分析
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形
BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐
标为( )
A．(3，2)
B．(3，1)
C．(2，2)
D．(4，2)
A
新课讲解
分析：直接利用坐标原点为位似中心的位似图形的性质
求出AD的长，然后根据△OAD∽△OBG，求出OB的长，
即可确定C点的坐标．
∵正方形BEFG的边长是6，∴BE＝EF＝6，
∵两正方形的相似比为1∶3. ∴
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
根据位似图形的性质可知，
∴OB＝3.∴C点坐标为(3，2)．故选择A.
新课讲解
知识点2 在平面直角坐标系中画位似图形
思考
在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，
以原点O为位似中心，位似比为3∶1，把线段AB缩小.
观察对应点之间的坐标的变化，你有什么发现?
新课讲解
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似
中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k或 －k.
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似
中心，画出一个与原图形位似的图形，使 它与原图形的
相似比为k，那么与原阁形上的点 (x，y)对应的位似图形
上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky).
新课讲解
例
典例分析
如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，B (－2，0) ，
O(0，0)以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与
△ABO的相似比为
分析：由于要画的图形是三角形，
所以关鍵是确定它的各顶
点坐标.根据 前面总结的
规律，点A的对应点A′的
坐标为
即(－3，6). 类似地，可以确定其他顶点的坐标.
3 32 42 2
， ，
新课讲解
如图，利用位似中对应点的
坐标的变化规律，分别取点
A′(－3， 6)，B′(－3，0) ，
O(0，0)顺次连接点A′，B′，
O，所得 △A′B′O就是要画
的一个图形.
解：
新课讲解
归纳
在平面直角坐标系中. 如果位似图形是以原点为位似中
心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
－k. 若原图形中的某一点坐标为(x0，y0)则其对应点的坐
标为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0).
课堂小结
知识总结
知识方法
要点 关键总结 注意事项
位
似
多
边
形
每组对应点所在直线交于
一点的相似多边形是位似
多边形; 位似多边形的对
应边平行或在一条直线上,
多边形上任意一组对应点
到位似中心的距离之比都
等于相似
画位似图形时要找准对应点，
理解相似比.注意位似中心的
位置：①位似中心在多边形
的一侧；②两个多边形分居
在位似中心的两侧；③位似
中心在两个多边形的内部
课堂小结
图形的
位似变
换与坐
标
在平面直角坐标系内，
将一个多边形的每个顶
点的横、纵坐标都乘同
一个数k(k≠0)，所对应
的图形与原图形位似，
位似中心是坐标原点，
它们的相似比为|k|
对于作图题，一定要根据
题目要求，看是在原点的
同侧作位似多边形，还是
在原点的两侧作位似多边
形，若在原点的同侧作，
则k＞0，若在原点的两侧
作，则k＜0
当堂小练
1.如图,以某点为位似中心,将△AOB进行位似变换得到△CDE,记△AOB与△CDE对应
边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A.(0,0),2 B.(2,2),12
C.(2,2),2 D.(2,2),3
2.在平面直角坐标系中,已知点A(6,-3),以原点O为位似中心,位似比为13,把线段OA
缩小为OA′,则点A′的坐标为( )
A.(2,-1)或(-2,-1)B.(-2,1)或(2,1)
C.(2,1)或(-2,-1)D.(2,-1)或(-2,1)
C
D
当堂小练
3.如图,以点O为位似中心,将△AOB扩大得到△COD,已知各点的坐
标分别为A(1,2),B(3,0),D(4,0),求点C的坐标及四边形ABDC的面积.
解:∵A(1,2),B(3,0),
∴S△AOB=12×3×2=3.∵△OAB∽△OCD,OB
OD=34,
∴点C的坐标为
43,83,S△OAB∶S△OCD=9∶16,
∴S△OCD=163,
∴S四边形ABDC=S△OCD-S△OAB=163-
3=73.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
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