资料简介
第
6
章 一元一次方程
6.1
从实际问题到方程
第六章
一元一次方程
根据实际问题列方程
从实际问题到方程
方程的
概念
列方程解应
用题的意义
方程的解
含有未知数的等式叫做方程
方程的解的概念
检验一个数值是
否为方程的 解
列方程的方法
列方程的步骤
列方程解应用题的优点
等式的基本性质
解一元一次方程
一元一次方程
的概念
解一元一次
方程的步骤
等式的基本性质
1
，
2
方程的变形规则
解 一元一次方程
实践与
探索
列方程解应用题的常见类型
列方程解应用题的步骤
审 设列 解 验 答
等积变形问题
和差倍分问题
工程问题
行程问题
应注意的问题
一、单元导入，明确目标（
3
分钟）
学习目标：
1、理解方程、方程的解的概念，掌握检验方程的解的方法，
2、认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
【学习重点】：
理
解方程，方程解的概念，掌握检验方程的解的方法。
【学习难点】：认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
探究点一：方程的有关概念
问题
1
：某校七年级
328
名师生乘车外出春游，已有
2
辆校车共可乘坐
64
人，还需租用
44
座的客车多少辆？
具体任务：找出上述问题方程的解的概念及如何用尝试检验法求解。
二、任务驱动，分步探究
1.
在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？
叫方程
.
2
、
，就是方程的解
.
要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入
，看能否使左右两边的值相等
.
如果左右两边的值相等，那么这个数就是
.
归纳：
1、含有未知数的等式叫做方程。
2、使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
3、要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解.
1.下列各式中，是方程的是( )
A.x-2=1 B.2x+5 C.x+y＞0 D.3y
2
.下列四个数中，是方程x+2=0的解为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
3
检验方程的解。
（1）6(x+3) =30 (x=5,x=2)
（2）3y-1=2y+1 (y=4,y=2)
探究二：从实际问题到方程（只列方程不求解)
具体任务：通过探索问题1中的等量关系和变化规律掌握用方程进行描述的方法。
根据问题
1
，你能总结出列方程解决应用题的步骤吗？
1、设
；找出
关系；
2、根据
列方程.
4.一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为________.
5.甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程.)？
三、巩固练
习
1.语句“x的3倍比y的1/2大7”用方程表示为：________.
2、一个水缸原来有水8升，水缸总共可以装水35升，小明每次往缸里加水9升，需要加水多少次才能加满(列出方程，不解方程.)？
3、树的年轮为13圈,大树的年轮为45圈, 几年后,大树的年轮是小树的3倍?(列出方程，不解方程.)
课堂小结，回扣目标
(1
分钟）
通过本节课的学习，你学到了什么？
达标测试
一、判断题
1、
x=2
是方程
x-10=-4
的解-----------------（ ）
2、
x=1
与
x=-1
都是方程
x
2
-1=0
的解-------（ ）
3、方程12(
x-3)-1=2x+3
的解是
x=-4------ （ ）
二、选择题
1、方程2(
x+3)=x+10
的解是 ( )
A x=3 B x=-3 C x=4 D x=-4
2、已知
x=2
是方程2(
x-3)+1=x+m
的解，则
m=（ ）
A 3 B 2 C -3 D -2
6.2
解一元一次方程
6.2.1
等式的性质与
方程的简单变形
引入
测量一些物体的质量时，我们将它放在天平
的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于
平衡状态时，显然两边的质量相等
.
如果我
们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时
天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同
质量的砝码，天平仍然平衡
.
天平与等式
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡
.
等式左边
等式右边
等号
天平两边同时加入相同质量的砝码，
天平仍然平衡
.
天平两边同时拿去相同质量的砝码，
天平仍然平衡
.
天平的特性
由天平性质看等式性质
天平
两边同时
天平仍然平衡
.
添上
取下
相同质量的砝码
，
两边同时
相同
的
仍然
等式
加上
减去
数值
代数式，
等式
成立
.
归纳总结
等式的两边都加上
(
或都减去
)
同一个数或同一个整式
,
所得结果仍是等式
.
【
等式的基本性质
1
】
等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为零）
,
所得结果仍是等式
.
【
等式的基本性质
2
】
注意
两个性质中同加减与同乘除的内容的不同：
代数式包括了数，且可能含有字母
.
由等式的基本性质得到方程的变形规则
方程的两边都加上
(
或都减去
)
同一个数或同一个整式
,
方程的解不变
.
【
方程的变形规则
1
】
方程的两边都乘以（或都除以）同一个数不为
0
的数
,
方程的解不变
.
【
方程的变形规则
2
】
例题
例
1
解下列方程：
(1)
x
－
5 = 7 ;
(2)
4
x
= 3
x
－
4;
解：
(1)
方程两边
都加上
5
，得
x
＝
7+5
，
即
x
＝
12
(2)
方程
两边都减去
3
x
，得
x
＝
3
x
－
4
－
3
x
即
x
＝－
4
请同学们分别将
x
＝
7+5
与原方程
x
－
5
＝
7
；
x
＝
3
x
－
4
－
3
与原方程
4
x
＝
3
x
－
4
比较，你 发现这些方程的变形有什么共同特点
?
思考与小结
像这样，将方程两边都加上
(
或减去
)
同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的
某些项
改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的
变形
叫做移项
.
注意：
“
移项
”
是指将方程的某些项从等号的
左边移到右边
或
从右边移到左边
，移项时要
变号
.
例题
例
2
解下列方程：
(1)
-5
x
= 2 ;
(2)
解
（
1
）方程两边都除以
-5
，得
（
2
）方程两边都除以 （或乘以 ），得
数学运用
总结
：
本节课
我们
通过天平实验，得出方程的两种变形：
1
．把方程两边都加上或减去同一个数或整 式方程的解不变
.
2.
把方程两边都乘以或除以
(
不等零
)
的同一个数，方程的解不变
.
第
①
种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别
.
(1)
8
x
= 2
x
－
7
;
(2)
6
= 8
＋
2
x
；
(3)
2
y
－
=
y
－
3 ;
(4)
10
m+
5= 17
m
－
5
－
2
m.
练习
6.2.2
解一元一次方程
☆
一元一次方程定义
:
只含有
一个未知数
,
并且
含有未知数的式子都是整式
,
未知数的次数是
1
,
这样的方程叫做
一元一次方程
.
注意以下三点：
（
1
）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数； ②未知数的次数是
1
；③含有未知数的式子是整式。
（
2
）一元一次方程的
最简
形式为：
ax=b
(
a≠0
)
。
（
3
）一元一次方程的
标准
形式为：
ax+b= 0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，并且
(
a≠0
)
。
自主预习
[
典例
]1
、下列各式是一元一次方程的是（ ）
B
(A) (B)
(C) (D)
2
、已知 是一元一次方程，
则
m
=
。
0
自主探究
(
去括号
)
(
移项
)
(
系数化为
1)
如何变形得到
?
利用
去括
号解
一元
一次
方程
新知探究
跟踪练习
*一元一次方程的定义：
一元一次方程的特征：
知识梳理
*解一元一次方程（去括号）
（
1
）移项要变号；
（
2
）去括号时，括号前是“
-”
，去括号后要将括号内的各项改变符号；
随堂练习
6.3 实践与探索
列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些呢？
关键
:
正确审清题意,找准“
等量关系
”
审 题
设未知数
找等量关系
列方程
解方程
检验
作答
知识回顾
关于图形方面的实际问题大多涉及图形的面积、周长和体积等数量关系。要解决这类问题，应从有关图形的面积、周长、体积等计算公式出发，根据题目中这些量的变化，建立相等关系，从而列出方程。
有关公式如下： （
1
）长方形的周长、面积公式
C
长方形
=2(
长
+
宽
)
，
s
长方形
=
长
×
宽 （
2
）长方体、圆柱的体积公式
V
长方体
=
长
×
宽
×
高，
V
圆柱
=
πr
2
h
关于图形的周长、面积、体积等数量关系
知识回顾
用一根长
60
厘米的铁丝围成一个长方形
（
1
）使长方形的宽是长的
,
求这个长方形的长和宽。
解：设这个长方形的长为
x
厘米，则它的宽为
x
厘米，根据题意得
2(
x
+
x
)=60
解得
x
=18
则宽为
12
厘米
答：这个长方形的长为
18
厘米，宽为
12
厘米
新知探究
用一根长
60
厘米的铁丝围成一个长方形
. (2)
使长方形的宽比长少
4
厘米
,
求这个长方形的面积
.
解
:(1)
设这个长方形的长为 厘米
,
则宽为 厘米
,
据题意得
(
长
)
(
宽
)
答
:
这个长方形的面积为
221
平方厘米
.
这个长方形的面积
:
(
平方厘米
)
(3)
比较
(1)
、
(2)
所得两个长方形面积的大小
.
还能围成面积更大的长方形吗
?
(1)
(2)
解
:(3)
当长方形的长为
18
厘米
,
宽为
12
厘米时
,
长方形的面积
=
(
平方厘米
)
当长方形的长为
17
厘米
,
宽为
13
厘米时
,
长方形的面积
=
(
平方厘米
)
所以
(2)
中的
长方形
面积比
(1)
中的长方形面积大
.
通过计算
,
发现随着长方形的长与宽的变化
,
长方形的面积也发生变化
,
并且长和宽的差越小
,
长方形的面积越大
,
当长和宽相等时
,
面积最大
.
即当长和宽相等都为
15
厘米时
,
围成的长方形
(
即正方形
)
面积最大
.
此时面积为
225
厘米
2
.
(3)
长方形在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大。
结 论
实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。
例
2
：在一个底面直径
5
厘米、高
18
厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径
6
厘米、高
10
厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内的水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离？
解：（
1
）圆柱形瓶内的水为
π
×2.5
2
×18 =225/2
π
圆柱形玻璃杯的容积为
π
×3
2
×10=90
π
因为
225/2
π
>90
π
，所以不能完全装下。
（
2
）设圆柱形瓶内的水面还有
x
厘米。 根据题意，得
π
×2.5
2
×x=225/2π
-
90
π
解得
x=3.6
。
18
-
3.6=14.4
答：圆柱形内的水面还有
3.6
厘米。离杯口距离
为
14.4
厘米。
实际问题
数学问题
已知量、未知量、等量关系
解释
解的合理性
方程的解
方程
抽象
分析
列
出
求解
验证
不合理
合理
我们这节课学到了什么？
知识梳理
1.
一块长、宽、高分别为
4
厘米、
3
厘米、
2
厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为
1.5
厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到
0.1
厘米
,
取
3.14)
4
3
2
·
r=1.5
解
:
设圆柱的高是 厘米
,
则根据题意
,
得
答
:
圆柱的高是
3.4
厘米
.
随堂练习
1.
一个角的余角比这个角的补角的一半小
40°,
求这个角的度数
.
拓展训练
2.
一张覆盖在圆柱形罐头侧面的高标纸
,
展开是一个周长为
88
厘米的正方形
(
不计接口部分
),
求这个罐头的容积
.(
精确到
1
立方厘米
,
取
3.14,
不计罐壁
厚
)
22
22
·
r
容积
=
(
立方厘米
)
解
:
答
:
这个罐头的容积为
848
立方厘米
.
设圆柱形底面半径为
r
厘米
,
则
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