资料简介
专题 32 带电粒子在叠加场中运动问题
一、单选题
1.如图所示，平行金属板 A，B 水平正对放置，分别带等量异号电荷．一带电微粒水平射入板间，在重力
和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么（ ）
A． 若微粒带正电荷，则 A 板一定带正电荷
B． 微粒从 M 点运动到 N 点电势能一定增加
C． 微粒从 M 点运动到 N 点动能一定增加
D． 微粒从 M 点运动到 N 点机械能一定增加
【答案】C
【解析】分析微粒的运动轨迹可知，微粒的合力方向一定竖直向下，由于微粒的重力不可忽略，故微粒
所受的电场力可能向下，也可能向上，故 A 错误．微粒从 M 点运动到 N 点，电场力可能做正功，也可能
做负功，故微粒的电势能可能减小，也可能增大，故 B 错误．微粒从 M 点运动到 N 点过程中，合力做正
功，故微粒的动能一定增加，C 正确．微粒从 M 点运动到 N 点的过程中，除重力之外的电场力可能做正
功，也可能做负功，故机械能不一定增加，D 错误．
2.中国科学家发现了量子反常霍尔效应，杨振宁称这一发现是诺贝尔奖级的成果．如图 5 所示，厚度为 h，
宽度为 d 的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍
尔效应．下列说法正确的是（ ）
A． 上表面的电势高于下表面的电势
B． 仅增大 h 时，上下表面的电势差增大
C． 仅增大 d 时，上下表面的电势差减小
D． 仅增大电流 I 时，上下表面的电势差减小
【答案】C
【解析】金属导体中的自由电荷是带负电的电子，由电流方向向右可知电子的移动方向向左，根据左手
定则，上表面带负电，下表面带正电，下表面的电势高于上表面，故 A 错误；稳定时，电子受到的洛伦
兹力与电场力相平衡，则 evB＝e ，解得 U＝vBh，而根据 I＝nevhd，可知 v＝ ，故 U＝ ，故
增大 h，电势差不变，仅增大 d 时，上，下表面的电势差减小，故 B 错误，C 正确；而仅增大 I 时，电势
差应该增大，故 D 错误．
二、多选题
3.电磁泵在目前的生产，科技中得到了广泛应用。如图所示，泵体是一个长方体，ab 边长为 L1，两侧端
面是边长为 L2 的正方形；流经泵体内的液体密度为ρ，在泵头通入导电剂后液体的电导率为σ（电阻率的
倒数），泵体所在处有方向垂直向外的磁场 B，把泵体的上下两表面接在电压为 U（内阻不计）的电源上，
则（ ）
A． 泵体上表面应接电源正极
B． 通过泵体的电流 I=UL1/σ
C． 增大磁感应强度可获得更大的抽液高度
D． 增大液体的电阻率可获得更大的抽液高度
【答案】AC
【解析】当泵体上表面应接电源正极时，电流从上向下流过泵体，这时受到的磁场力水平向右，拉动液
体，因此 A 正确；泵体电阻 ，因此流过泵体的电流 ，B 错误；增大磁感
应强度 B，受到的磁场力变大，因此可获得更大的抽液高度，C 正确，但若增大液体的电阻率。可使 I 减
小，受到的磁场力减小，使抽液高度减小，D 错误
4.如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场．在该区域中，有一个竖直放
置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O 点为圆环的圆心，a，b，c，d 为圆环上的四个点，a
点为最高点，c 点为最低点，b，O，d 三点在同一水平线上．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将
小球从环的顶端 a 点由静止释放，下列判断正确的是（ ）
A． 小球能越过 d 点并继续沿环向上运动
B． 当小球运动到 d 点时，不受洛伦兹力
C． 小球从 d 点运动到 b 点的过程中，重力势能减小，电势能减小
D． 小球从 b 点运动到 c 点的过程中，经过弧 bc 中点时速度最大
【答案】BD
【解析】电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方 45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，
所以 ad 弧的中点相当于竖直平面圆环的“最高点”．关于圆心对称的位置（即 bc 弧的中点）就是“最低点”，
速度最大；由于 a，d 两点关于新的最高点对称，若从 a 点静止释放，最高运动到 d 点，故 A 错误；当小
球运动到 d 点时，速度为零，故不受洛伦兹力，故 B 正确；由于 d，b 等高，故小球从 d 点运动到 b 点的
过程中，重力势能不变，故 C 错误；由于等效重力指向左下方 45°，由于弧 bc 中点是等效最低点，故小
球从 b 点运动到 c 点的过程中，经过弧 bc 中点时速度最大，故 D 正确．
5.回旋加速器的核心部分如图所示，两个 D 形盒分别与交变电源的两极相连。下列说法正确的是（ ）
A．D 形盒之间电场力使粒子加速
B．D 形盒内的洛伦兹力使粒子加速
C． 增大交变电压的峰值，最终获得的速率 v 增大
D． 增大磁感应强度，最终获得的速率 v 增大
【答案】AD
【解析】带电粒子在 D 形盒的中间缝隙中受电场力作用，使粒子加速，选项 A 正确；D 形盒内的洛伦兹
力只是使带电粒子的速度方向发生改变，不能使粒子加速，选项 B 错误；设 D 形盒的半径为 R,则当粒子
加速结束时满足： ，即 ，故增大磁感应强度，最终获得的速率 v 增大，选项 C
错误，D 正确。
三、计算题
6.如图所示，在无限长的竖直边界 NS 和 MT 间充满匀强电场，同时该区域上，下部分分别充满方向垂直
于 NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 B 和 2B，KL 为上，下磁场的水平分界线，
在 NS 和 MT 边界上，距 KL 高 h 处分别有 P，Q 两点，NS 和 MT 间距为 1.8h.质量为 m，带电量为＋q 的
粒子从 P 点垂直于 NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为 g.
（1）求电场强度的大小和方向．
（2）要使粒子不从 NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
（3）若粒子能经过 Q 点从 MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．
【 答 案 】 （ 1 ） ， 方 向 竖 直 向 上 （ 2 ） （ 9 － 6 ） （ 3 ）
【解析】（1）设电场强度大小为 E.
由题意有 mg＝qE，
得 E＝ ，方向竖直向上．
（2）如图所示， 设粒子不从 NS 边飞出的入射速度最小值为 vmin，对应的粒子在上，下区
域的运动半径分别为 r1 和 r2，圆心的连线与 NS 的夹角为φ.
由 r＝ ，
有 r1＝ ，r2＝ ＝ r1，
由（r1＋r2）sinφ＝r2，
r1＋r1cosφ＝h，
得 vmin＝（9－6 ） .
（3）如图所示，
设粒子入射速度为 v，粒子在上，下方区域的运动半径分别为 r1 和 r2，粒子第一次通过 KL 时距离 K 点为
x.
由题意有 3nx＝1.8h，（n＝1,2,3，…），
由（2）知 x≥r2＝ ，
x＝ ，
得 r1＝（1＋ ） ，n≤0.6（3＋2 ）≈3.5，
即 n＝1 时，v＝ ；
n＝2 时，v＝ ；
n＝3 时，v＝ .
7.如图，在 xOy 平面的第一，四象限内存在着方向垂直纸面向外，磁感应强度为 B 的匀强磁场，第四象限
内存在方向沿-y 方向，电场强度为 E 的匀强电场。从 y 轴上坐标为 a 的一点向磁场区发射速度大小不等的
带正电同种粒子，速度方向范围是与+y 方向成 30°～150°，且在 xOy 平面内。结果所有粒子经过磁场偏转
后都垂直打到 x 轴上，然后进入第四象限的匀强电场区。已知带电粒子电量为 q，质量为 m，粒子的重力
及粒子间相互作用不计。求：
（1）垂直 y 轴方向射入磁场粒子运动的速度大小 v1；
（2）求粒子在第Ⅰ象限的磁场中运动的最长时间与最短时间差。；
（3）从 x 轴上 x=（ -1）a 点射人第四象限的粒子穿过电磁场后经过 y 轴上 y=-b 的点，求该粒子经过
y=-b 点的速度大小。
【答案】（1）v=qBa/m（2） （3）
【解析】（1）如图所示，粒子运动的轨迹圆心在坐标原点，轨道半径 R=a，
有 qvB=mv2/R，
v=qBa/m
（2）最长时间对应粒子初速度与 y 轴正方向夹角 30°，转过 150°
最短时间对应粒子初速度与 y 轴负方向夹角 30°，转过 30°
T=
故时间差
（3）粒子射出时与 y 轴负方向夹角θ，则有
得到： ，
速度 v0 为
到达 y 轴速度 v，则
8.如图所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内，在水平的 x 轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感
应强度为 B，方向垂直 xOy 平面向里，电场线平行于 y 轴，一质量为 m，电荷量为 q 的带正电的小球，从
y 轴上的 A 点水平向右抛出，经 x 轴上的 M 点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从 x 轴上的 N 点
第一次离开电场和磁场，M，N 之间的距离为 L，小球过 M 点时的速度方向与 x 轴的方向夹角为θ，不计
空气阻力，重力加速度为 g，求：
（1）电场强度 E 的大小和方向；
（2）小球从 A 点抛出时初速度 v0 的大小；
（3）小球从 A 点运动到 N 点的时间 t.
【答案】（1） ，方向竖直向上 （2） （3） ＋
【解析】（1）小球在电场，磁场中恰能做匀速圆周运动，有：qE＝mg，则 E＝ ，电场强度方向竖直
向上．
（2）小球做匀速圆周运动，设半径为 r，
由几何关系知：sinθ＝
设小球做圆周运动的速率为 v，有：qvB＝m
由速度的合成与分解得：cosθ＝
得：v0＝ .
（3）设小球到 M 点的竖直分速度为 vy，
vy＝v0tanθ＝gt1
t1＝
在磁场中运动时间为：t2＝ · ＝
运动总时间为：t＝t1＋t2＝ ＋ .
9.如图所示，平行板电容器上板 M 带正电，两板间电压恒为 U，极板长为（1+ ）d，板间距离为 2d，
在两板间有一圆形匀强磁场区域，磁场边界与两板及右侧边缘线相切，P 点是磁场边界与下板 N 的切点，
磁场方向垂直于纸面向里，现有一带电微粒从板的左侧进入磁场，若微粒从两板的正中间以大小为 v0 水
平速度进入板间电场，恰做匀速直线运动，经圆形磁场偏转后打在 P 点。
（1）判断微粒的带电性质并求其电荷量与质量的比值；
（2）求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若带电微粒从 M 板左侧边缘沿正对磁场圆心的方向射入板间电场，要使微粒不与两板相碰并从极板
左侧射出，求微粒入射速度的大小范围。
【答案】负电
【解析】（1）由题意可知，微粒所受电场力向上，上板带正电可得微粒带负电，
由于微粒做匀速直线运动可得
又 可得
（2） 由题意可得，微粒从下板 P 垂直射出，所以
根据牛顿第二定律
解得
（3）如图所示， 要使粒子从左板射出，临界条件是恰从下板左边射出，此时根据
几何关系可得
微粒做圆周运动的半径
又根据牛顿第二定律
解得
要使微粒从左板射出
10.如图在 xoy 平面内有平行于 x 轴的两个足够大的荧光屏 M，N，它们的位置分别满足 y=l 和 y=0，两屏
之间为真空区域。在坐标原点 O 有一放射源不断沿 y 轴正方向向真空区域内发射带电粒子，已知带电粒
子有两种。为探索两种粒子的具体情况，我们可以在真空区域内控制一个匀强电场和一个匀强磁场，电
场的场强为 E，方向与 x 轴平行，磁场的磁感应强度为 B，方向垂直于 xoy 平面。试验结果如下：如果让
电场和磁场同时存在，我们发现粒子束完全没有偏转，仅在 M 屏上有一个亮点，其位置在 S（ 0 ,l）；如
果只让磁场存在，我们发现仅在 N 屏上出现了两个亮点，位置分别为 P（ -2l， 0 ），Q（ ，0 ），由
此我们可以将两种粒子分别叫做 P 粒子和 Q 粒子。已知粒子间的相互作用和粒子重力可以忽略不计，试
求（坐标结果只能用 l 表达）：
（1）如果只让磁场存在，但将磁场的磁感应强度减为 B1= ，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置
坐标；
（2）如果只让电场存在，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标；
（3）如果只让磁场存在，当将磁场的磁感应强度变为 B2= kB 时，两种粒子在磁场中运动的时间相等，
求 k 的数值。
【答案】（1）P 粒子亮点位置（ ，l）Q 粒子仍打在 N 屏上，易得亮点位置（l，0）
（2）（ ，l），（-2l，l） （3）
【解析】（1）当磁场 B 和电场 E 同时存在时，两种粒子都受力平衡，都满足
Eq=Bqv
所以两种粒子速度相同都为 v= ①
当仅存在磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力，两种粒子都满足
得 ②
当磁场强度为 B 时，
P 粒子的轨道半径 r1=l，Q 粒子轨道半径为 r2= ③
由②可知当磁场为 B1 减半时，两粒子做圆周运动的半径都加倍，此时 r1′=2l，r2′=
此时 P 粒子将打在 M 屏上，由几何关系可求出落点横坐标
所以 P 粒子亮点位置（ ，l）
而 Q 粒子仍打在 N 屏上，易得亮点位置（l，0）
（2）由上问①②③式，可得两粒子的荷质比及其与 E，B 的关系，对 P，Q 分别有
④
⑤
当仅存在电场时，P 粒子将向右偏，y 方向分运动为匀速直线运动
vt=l⑥
x 方向分运动为受电场力下的匀加速直线运动，有
⑦
⑧
结合④⑥⑦可得
⑨
由①④⑨可得
x1=
同理可以求得 Q 粒子在-x 方向的偏转位移为
x2=2l
故 P，Q 两粒子打在屏上的位置坐标分别为（ ，l），（-2l，l）。
（3）由②和③可以得出结论，不论磁场为多少，P，Q 两粒子的轨道半径 R1：R2=4：1 不变。因为两粒
子速度大小相等，所以要想两粒子运动时间相等，即运动弧长相等，两粒子运动的圆弧圆心角之比必须
为θ1：θ2=1：4。
如图粒子打在 M 屏上时，其运动轨迹圆弧圆心角θ（锐角）与半径 R 满足 l=Rsinθ，不可能满足 R1：R2=4：
1 和θ1：θ2=1：4。所以两粒子都打在 M 屏上不可能满足要求。
两粒子都打在 N 屏上，圆心角都为π也不能满足要求。
所以结果必然为 P 粒子打在 M 屏而 Q 粒子打在 N 屏，所以θ2=π，而θ1= 。
由几何关系易得此时 R1= l，结合②③可求得此时
B2= ，k=
11.如图，空间某区域存在宽度为 5d=0.4m 竖直向下的匀强电场，电场强度为 0.1V/m，在电场中还存在 3
个磁感应强度方向为水平的匀强磁场区域，磁感应强度为 0.1T。一带负电小球从离磁场 1 上边界 h=0.2m
的 A 处自由下落。带电小球在这个有电场和磁场的区域运动。已知磁场宽度为 d=0.08m，两个磁场相距
也为 d=0.08m,带电小球质量为 m=10-5kg,小球带有的电荷量为 q=-10-3C.
求：（1）小球刚进入电场磁场区域时的速度；
（2）小球第一次离开磁场 1 时的速度及穿过磁场 1 磁场 2 所用的时间；
（3）带电小球能回到与 A 同一高度处吗？如不能回到同一高度，请你通过计算加以说明；如能够回到同
一高度，则请求出从 A 处出发开始计时到回到同一高度的时刻（假设磁场电场区域足够长，g=10m/s2，
）
【答案】（1） 2m/s （2） 0.092s （3） 微粒可以回到与 A 等高的位置 0.93s
【解析】（1）微粒在进入电场磁场区域之前为自由落体运动，因此有
方向竖直向下
（2）微粒进入电场磁场区域时，始终受到重力，电场力作用，但重力，电场力始终大小相等，方向相反，
因此，微粒在电场磁场区域运动时可以不考虑这两个力的影响。微粒在磁场 1 中运动时只考虑洛伦磁力
的作用。微粒在磁场 1 中做匀速圆周运动，微粒离开磁场 1 时速度大小还是 ；假设微粒在磁
场 1 中运动时圆弧对应的圆心角为 ，则 ，所以带电微粒离
开磁场 1 时速度方向为与竖直方向的夹角为 微粒在磁场 1 和磁场 2 中运动时的两端圆弧半径相等，两
端圆弧对接后所对的圆心角为
则 ，则 ，时间
（3）分析微粒在电场磁场区域的运动情况，微粒可以回到与 A 等高的位置。
在三个磁场中运动的总时间为半个圆周运动周期， s
微粒在电场磁场区域运动的总时间为 s
微粒在磁场 1 和磁场 2 之间的电场中运动为匀速直线运动，
总时间为 s
微粒在磁场 3 和磁场 2 之间的电场中运动也为匀速直线运动，
总时间为 s
所以，微粒要回到与 A 等高处的最少时间
0.31+0.4+0.087+0.13=0.93s
12.如图所示，水平地面上方竖直边界 MN 左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场 B 和沿竖直方向的匀强电场
E2（未画出），磁感应强度 B＝1.0 T，MN 边界右侧离地面 h＝3m 处有长为 L＝0.91m 的光滑水平绝缘平
台，平台的左边缘与 MN 重合，平台右边缘有一质量 m＝0.1 kg，电量 q＝0.1 C 的带正电小球，以初速度
v0＝0.6m/s 向左运动．此时平台上方存在 E1＝2 N/C 的匀强电场，电场方向与水平方向成θ角，指向左
下方，小球在平台上运动的过程中，θ为 45°至 90°的某一确定值．小球离开平台左侧后恰好做匀速圆周运
动．小球可视为质点，g＝10m/s2.求：
（1）电场强度 E2 的大小和方向；
（2）小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间；
（3）小球离开平台左侧后，小球落地点的范围（计算结果可以用根号表示）．
【答案】（1）10N/C，方向竖直向上 （2） s （3）距 N 点左边 m，右边 m 的范围内
【解析】（1）因为小球在 MN 边界左侧做匀速圆周运动，其所受到的电场力必等于自身重力，有 qE2＝
mg
得 E2＝10N/C，方向竖直向上．
（2）若θ＝90°，小球匀速通过 MN 有最小速度：
vmin＝0.6m/s
若θ＝45°，小球匀加速通过 MN 有最大速度．
此时 E1qcosθ＝ma
a＝ ＝2m/s2
由 v －v ＝2aL 可得：vmax＝2m/s
综合分析得：小球通过 MN 后的速度为 0.6m/s≤vA≤2m/s
小球以 2m/s 在磁场中做匀速圆周运动的时间最短，
根据 Bqv＝m 和 T＝
得：Rmax＝ ＝2m
T＝ ＝2π s，
因为 sinθ＝ ＝ ，所以θ＝30°
所以小球在磁场中转过的角度为 120°，
所以小球在磁场中运动的时间 t＝ T＝ s.
（3）小球落在 N 点左边最大距离时，设到 N 点距离为 x，则 x＝Rmaxcos 30°＝ m
小球从 MN 边界飞出的最小半径 Rmin＝ ＝0.6m
设小球落到 N 点右边时，到 N 点的距离为 s，小球落在 N 点右边的最大距离由平抛运动得
h－2R′＝ gt2
s＝v′t
v′＝
s＝
当 R′＝1m 时，s 有最大值
因 0.6m≤R′≤1.5m，故 s＝ 成立
代入数据解得 s＝ m
所以小球的落点在距 N 点左边 m，右边 m 的范围内．
13.如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度 B1＝0.20 T，方向垂直
纸面向里；电场强度 E＝1.0×105V/m，方向竖直向下．紧靠平行板右侧边缘，有垂直纸面向里的有界匀强
磁场，磁感应强度 B2＝0.25 T，磁场边界为一等腰直角三角形 ACD，直角边长 L1=0.4m．一粒子源发射一
束带电荷量 q＝8.0×10-19C 的正离子从 P 点射入平行板间，沿板间中线 PQ 做直线运动，穿出平行板后从
AC 边中点垂直 AC 射入磁场区，离子通过有界磁场后打在距 AD 边 L2=0.1m 的足够大的荧光屏 EF 上，在
荧光屏上留下一条亮线．所有离子通过 AD 边时的速度方向与 AD 边的夹角在 45°～90°之间．试求（不计
离子重力，结果保留两位有效数字）：
（1）离子速度的大小；
（2）离子的质量范围及荧光屏上亮线的长度；
（3）若磁感应强度 B2 的大小可调，为使离子都不能打到荧光屏上，则调整后 B2 的大小．
【答案】（1）5×105m/s； （2）0.16m； （3）至少为 0.6T．
【解析】（1）设正离子的速度为 v，由于沿中线 PQ 做直线运动，则有
qE＝qvB1①
代入数据解得 v＝5.0×105m/s
（2）设离子的质量为 m，如图所示，当通过 AD 边时的速度方向与 AD 边夹角为 90°时，由几何关系可知
运动半径
r1＝0.2m
当通过 AD 边时的速度方向与 AD 边夹角为 45°时，由几何关系可知运动半径
r2＝0.1m
由牛顿第二定律有
qvB2＝m ②
由于 r2≤r≤r1
解得 4.0×10-26kg≤m≤8.0×10-26kg
离子射出有界磁场后沿出射方向做匀速直线运动，离子射到荧光屏上两边界点为 GH，
过出射点 K1 向荧光屏作垂线交点为 K，有
GH=GK+KH③
其中
GK=K1K=L2=0.1m④
KH=K1H1=r1- r2=0.06m⑤
所以 GH=0.16m
（3）如图所示，使离子不能打到荧光屏上的最大半径 r3，由几何关系可知
r3+ r3=AQ⑥
r3＝ m
设离子都不能打到荧光屏上，最小的磁感应强度大小为 B0，则
qvB0＝m1 ⑦
代入数据解得 B0＝ T＝0.60 T
则 B ≥0.60 T（或 B >0.60 T）
14.如图所示，MN 为绝缘板，CD 为板上两个小孔， AO 为 CD 的中垂线，在 MN 的下方有匀强磁场，方
向垂直纸面向外（图中未画出），质量为 m 电荷量为 q 的粒子（不计重力）以某一速度从 A 点平行于
MN 的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向 O 点），已知图中虚线
圆弧的半径为 R，其所在处场强大小为 E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔 垂直于 MN 进
入下方磁场。
（1）求粒子运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动，与 MN 板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔
D 进入 MN 上方的一个三角形匀强磁场，从 A 点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN 上下
两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？
（3）粒子从 A 点出发后，第一次回到 A 点所经过的总时间为多少？
【答案】（1） （2） ； 或 （3）
【解析】（1）粒子进入静电分析器做圆周运动，故
解得：
（2）粒子从 D 到 A 匀速圆周运动，故由图示三角形区域面积最小值为
在磁场中洛伦兹力提供向心力， ，
设 MN 下方的磁感应强度为 B1，上方的磁感应强度为 B2，
若只碰撞一次，则 ， ，故 ，
若碰撞 次，则： ， ，故
（3）粒子在电场中运动时间： ，
在 下方的磁场中运动时间： ，
在 上方的磁场中运动时间：
总时间： 。
15.如图所示，是一种电子扩束装置的原理示意图。直角坐标系原点 O 处有一电子发射装置，可以不断朝
xOy 平面内 x≥0 区域任意方向发射电子，电子的速率均为 v0，已知电子的电荷量为 e，质量为 m。在
0≤x≤d 的区域内分布着沿 x 轴负方向的匀强电场，场强大小 ，在 x>d 区域内分布着足够大且垂
直于 xOy 平面向外的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度 。ab 为一块很大的平面感光板，在磁
场内平行于 y 轴放置，电子打到板上后会在板上形成一条亮线。不计电子的重力和电子之间的相互作
用。求：
（1）电子进入磁场时速度 v 的大小；
（2）当感光板沿 x 轴方向移到某一位置时恰好没有电子打到板上，求板 ab 到 y 轴的距离 x1；
（3）保持（2）中感光板位置不动，要使所有电子恰好都能打到感光板上时磁感应强度 B′的大小以及电
子打到板上形成亮线的长度 。
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）电场力对电子做功，根据动能定理：
①
解①得： ②
（2）由题意结合左手定则可以判定：若沿 y 轴负方向射出的电子进入磁场后轨迹与 ab 板相切不能打到
ab 板上时，则所有电子均不能打到 ab 板上，作出其运动轨迹如图所示。
设该电子进入磁场时与竖直方向的夹角为θ，有： ③
电子在洛伦兹力作用下做圆周运动： ④
由图中几何关系： ⑤
联解②③④⑤得：
⑥
（3）由题意结合左手定则可以判定：若沿 y 轴正方向射出的电子进入磁场后轨迹恰好与 ab 板相切能打到
ab 板上，则所有电子均能打到板上，作出其运动轨迹如图所示。
由图中几何关系：
⑦
⑧
联解②③⑥⑦⑧得：
⑨
沿 y 轴正，负方向发射的电子在电场中做类平抛运动，设沿 y 轴的偏转量为 y1，则：
⑩
⑪
设沿 y 轴正方向发射的电子打到感光板上时在磁场中运动沿 y 轴的偏转量为 y2，沿 y 轴负方向发射的电子
打到感光板上时在磁场中运动沿 y 轴的偏转量为 y3，由图中几何关系得：
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电子打到板上形成亮线的长度：
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联解得：
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