资料简介
图形规律探索题
【例 1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y 轴的正半轴上，且 OA1=A1A2=1，
以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3，以 OA3 为直角边作第三个等腰直角三角形 OA3A4，…，依此规
律，得到等腰直角三角形 OA2017A2018，则点 A2017 的坐标为
O
x
y
A1
A2
A3
A4
A5A6
A7
A8
【答案】（0，21008）.
【解析】解：由题意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3= 2 ，OA3=2，
∴A3(2,0),
同理，A4(2,－2)，A5(0,－4)，A6(－4,－4)，A7(－8,0)，A8(－8,8)，A9(0,16)……
每隔 8 个点恰好处于同一坐标系或象限内，2017÷8=252……1，
即点 A2017 在 y 轴正半轴上，横坐标为 0，
各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23，……
2017÷2=1008……1，
可得点 A2017 的纵坐标为：21008，
故答案为（0，21008）.
【变式 1-1】如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在 x 轴上、
斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，
0)，则依图中所示规律，A2019 的横坐标为（ ）
A．-1008 B．2 C．1 D．1011
【答案】A.
【解析】解：
观察图形可知，奇数点在 x 轴上，偶数点在象限内，
所以 A2019 在 x 轴上，
A1，A5，A9，A13……，A4n－3 在 x 正半轴，4n－3=2019，n=505.5，所以 A2019 不在 x 正半轴上；
A3（0,0），A7（－2,0），A11（－4,0），A15（－8,0）……，
3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2019=4×504+3，
∴－2×504=－1008，
即 A2019 的坐标为（－1008，0），
故答案为：A.
【变式 1-2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形 OA1B1C1，
称为一次旋转，依此方式，……，绕点 O 连续旋转 2 019 次得到正方形OA2 019B2 019C2 019，如果点A 的
坐标为(1，0)，那么点 B2 019 的坐标为 .
【答案】（－ 2 ,0）.
【解析】由旋转及正方形性质可得：
B(1,1),B1(0, 2 )，B2(－1, 1)，B3(－ 2 ,0)，B4(－1, －1)，B5(0, － 2 )，B6(1, －1)，B7( 2 ,
0)，B8(1, 1)，……
∴360÷45=8，
2019÷8=252……3，
∴点 B2019 落在 x 轴负半轴上，
即 B2019(－ 2 ,0)，
故答案为：（－ 2 ,0）.
【例 2】如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺指针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在
点 B1、C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2
绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去…，若点 A（ 5
3
，0），B（0，4），则点
B2016 的横坐标为（ ）
A．5 B．12 C．10070 D．10080
【答案】D．
【解析】解：由图象可知点 B2016 在第一象限，
∵OA= 5
3
，OB=4，∠AOB=90°，
在 Rt△BOA 中，由勾股定理得：AB= 13
3
，
可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…
∴点 B2016 横坐标为 10080．
故答案为：D．
【变式 2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3，6，10…）
和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”
为 n，则 m+n 的值为（ ）
A．33 B．301 C．386 D．571
【答案】C．
【解析】解：由图形知：
第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n＝ 1
2
n n ，
第 n 个正方形数为 n2，
当 n＝19 时， 1
2
n n ＝190＜200，
当 n＝20 时， 1
2
n n ＝210＞200，
所以最大的三角形数：m＝190；
当 n＝14 时，n2＝196＜200，
当 n＝15 时，n2＝225＞200，
所以最大的正方形数：n＝196，
则 m+n＝386，
所以答案为：C．
1.如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使
∠D1AC=60°；连接 AC1，再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第 n 个菱
形的边长为 ．
【答案】 1
3
n
．
【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AB=BC=1，∠ACB=∠CAB=30°，
∴AC= 3 AB= 3 ，
同理可得：AC1= 3 AC=（ 3 ）2，AC2= 3 AC1=3 3 =（ 3 ）3，……
第 n 个菱形的边长为： 1
3
n
，
故答案为： 1
3
n
．
2.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点 A 的坐标为（2，0），过点 A 作 AA1⊥OB，垂足为点 A1，
过 A1 作 A1A2⊥x 轴，垂足为点 A2；再过点 A2 作 A2A3⊥OB，垂足为点 A3；再过点 A3 作 A3A4⊥x 轴，垂足为点 A4…；
这样一直作下去，则 A2017 的横坐标为（ ）
A． 3
2
•（ 3
2
）2015 B． 3
2
•（ 3
2
）2016 C． 3
2
•（ 3
2
）2017 D． 3
2
•（ 3
2
）2018
【答案】B．
【解析】解：∵∠AOB=30°，点 A 坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴OA1= 3
2
OA= 3 ，OA2= 3
2
OA1=2×
2
3
2
，OA3= 3
2
OA2=2×
3
3
2
…，
∴OAn=（ 3
2
）nOA=2（ 3
2
）n．∴OA2018=2×（ 3
2
）2018= 3
2
•（ 3
2
）2016
故答案为：B．
3.如图，函数
4 0 2
2 8 2 4
x x xy x x
的图象记为 C1，它与 x 轴交于点 O 和点 A1，将 C1 绕点 A1
选择 180°得 C2，交 x 轴于点 A2……，如此进行下去，若点 P(103，m)在图象上，则 m 的值是（ ）
A. -2 B. 2 C. -3 D. 4
【答案】A．
【解析】解：由图可知：横坐标每间隔 8 个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为 8，103÷8=12……
5，当 x=5 时，y=－2，即 m=－2，
故答案为：A.
4.如图，弹性小球从点 P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 DABC 的边时反弹，反弹
时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(-2，0)，第 2 次碰到正方形的边时的点
为 P2，……，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2 019 的坐标是（ ）
A．(0，1) B．(-4，1) C．(-2，0) D．(0，3)
【答案】D．
【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（－2,0）……
2019÷6=336……3，
即 P2019（0,3），
故答案为：D.
5.如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿
x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转 2019 次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，…，则 B2
019 的坐标为（ ）
A. (1010,0) B.(1310.5, 3
2
) C. (1345, 3
2
) D. (1346,0)
【答案】D.
【解析】解：连接 AC，如图所示．
∵四边形 OABC 是菱形，∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形．
∴AC=AB．∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
由图可知：每翻转 6 次，图形向右平移 4．
∵2019=336×6+3，
∴点 B3 向右平移 1344（即 336×4）到点 B2019．
∵B3 的坐标为（2，0），
∴B2019 的坐标为（1346，0），
故答案为：D．
6.如图，在直角坐标系中，已知点 A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1，
△2，△3，△4，…，则△2019 的直角顶点的坐标为（ ）
A．（8076，0） B．（8064，0）
C．（8076， 12
5
） D．（8064， 12
5
）
【答案】A．
【解析】解：∵点 A（﹣3，0）、B（0，4），
由勾股定理得：AB＝5，
由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12，
2019÷3＝673，直角顶点在 x 轴上，
673×12＝8076，
∴△2019 的直角顶点的坐标为（8076，0）．
故答案为：A．
7.如图，在平面直角坐标系中，函数 y=2x 和 y=﹣x 的图象分别为直线 l1，l2，过点（1，0）作 x 轴的
垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂
线交 l2 于点 A4，…依次进行下去，则点 A2017 的坐标为 ．
【答案】（21008，21009）．
【解析】解：由图可知：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，
∵2017=504×4+1，
∴点 A2017 在第一象限，
∵2017=1008×2+1，
∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n 为自然数）．
∴A2017 的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．
故答案为：（21008，21009）．
8.如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，
绕点 O 连续旋转 2018 次得到正方形 OA2018B2018C2018，如果点 A 的坐标为（1，0），那么点 B2018 的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0， 2 ） C．（ 2 ，0） D．（﹣1，1）
【答案】D．
【解析】解：∵四边形 OABC 是正方形，OA＝1，
∴B（1，1），
连接 OB，在 Rt△OAB 中，由勾股定理得：OB＝ 2 ，
由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝ 2 ，
∴B1（0， 2 ），B2（﹣1，1），B3（﹣ 2 ，0），…，
360÷45=8，每 8 次一循环，2018÷8＝252……2，
∴点 B2018 的坐标为（﹣1，1）.
故答案为：D．
9.将直角三角形纸板 OAB 按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，OB＝4，OA＝2 3 ．将
三角形纸板绕原点 O 逆时针旋转，每秒旋转 60°，则第 2019 秒时，点 A 的对应点 A′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣ 3 ） B．（3，﹣ 3 ） C．（﹣3， 3 ） D．（0，2 3 ）
【答案】A．
【解析】解：360÷60=6，
即每 6 秒一循环，
2019÷6=336……3，
即 2019 秒时， 点 A 与其对应点 A′关于原点 O 对称，
∵OA＝4，∠AOB＝30°，
可得：A(3, 3 )，
∴第 2019 秒时，点 A 的对应点 A′的坐标为(－3, － 3 )，
故答案为：A.
10.正方形 ABCD 的位置在坐标中如图所示，点 A、D 的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长 CB 交 x 轴于
点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第 2017 个
正方形的面积为
【答案】
403235 2
．
【解析】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴ 1 1
2
OA BA
OD AB
，
由勾股定理得：AB=AD= 5 ，
∴BA1= 5
2
，
∴第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C=A1B+BC= 3 5
2
，面积=
2
3 5
2
，
同理，第 3 个正方形的面积为：
2
3 3 5
2 2
，
第 4 个正方形的面积为：
2
3 3 3 5
2 2 2
，……
∴第 2017 个正方形的面积为：
403235 2
.
即答案为：
403235 2
.
11.如图所示，一动点从半径为 2 的⊙O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处，
再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运
动到⊙O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；…… 按此规律运动
到点 A2 017 处，则点 A2 017 与点A0 间的距离是
【答案】4.
【解析】解：由图分析可知，A6 点与 A0 点重合，
2017÷6=336……1，
即点 A2 017 与 A1 重合，
∵⊙O 的半径为 2 ，
∴点 A2 017 与点 A0 间的距离是 4.
12.如图，由一些点组成形如正多边形的图案，按照这样的规律摆下去，则第 n（n＞0）个图案需要点
的个数是 ．
【答案】n2+2n.
【解析】解：由图知，第 1 个图形点数为 3+0×3，第 2 个图形点数为 4+1×4；第 3 个图形点数为 5+2
×5；第 4 个图形点数为 6+3×6……
第 n 个图形点数为：（n+2）+（n－1）（n+2）=n2+2n，
即答案为：n2+2n.
13..如图所示的坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿
x 轴的正方形无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转 2017 次，点 B 的落点分别是 B1，B2，B3，……，则
B2017 的坐标为
【答案】（1345.5， 3 ）.
【解析】解：由题意知：OB= 3 OA= 3 ，即 B(0, 3 )，
∴B1 的纵坐标为： 3
2
，横坐标为： 3 × 3
2
= 3
2
，
即 B1( 3
2
， 3
2
)，
由图可知，每翻折 6 次，图形向右平移 4 个单位，
2017=336×6+1，
求得：B2017（336×4+ 3
2
， 3 ），即 B2017（1345.5， 3 ），
故答案为：（1345.5， 3 ）.
14.如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，……和点 B1，B2，B3，……分别在直线 1
5y x b 和 x
轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3……都是等腰直角三角形，若点 A1(1,1)，则点 A2019 的纵坐标是
【答案】
20183
2
.
【解析】解：如图，分别过 A1，A2，A3 作 x 轴的垂线，
∵点 A(1,1)在直线 1
5y x b 上，
∴b= 4
5
，
由△OA1B1 是等腰直角三角形，得：OB1=2，
设 A2(x,y)，则 B1C2=x－2，y= x－2,
∴x－2= 1 4
5 5x ，解得：x= 7
2
，y= 3
2
，即 A2 的纵坐标为： 3
2
；
同理可得：A3 的纵坐标为：
29 3
4 2
，
即 An 的纵坐标是 An－1 纵坐标的 3
2
倍，
即 A2019 的纵坐标为：
20183
2
.
15.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0，
2)，延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1CC1B1；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2C1C2B2；…，按照这
样的规律作正方形，则点 B2 019 的纵坐标为 ．
【答案】
20193
2
.
【解析】解：过 B 作 BH⊥x 轴于 H，
由一线三直角模型，可知△ADO≌△BAH，即 BH=OA=1，即 B 点纵坐标为 1，
同理得：B1 点纵坐标为 3
2
，B2 点纵坐标为
23
2
，B3 点纵坐标为
33
2
，……B2019 点纵坐标为
20193
2
，
即答案为：
20193
2
.
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