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圆锥曲线的离心率问题
大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容，可以毫不夸张地说，不管是高
考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。这类问题归结起来主要包括：①已知圆
锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离
心率的取值范围。从题型上看，属于 5 分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的
深难度来看，属于中、高档题。那么如何解答这类问题呢？下面通过对典型例题的解析来回
答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、已知 、 是椭圆两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若
AB 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（2016—2017 成都实外西区期中考试）
A B C D
2、已知双曲线 C： =1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为 ， ，抛物线 =2px
（p＞0）与双曲线有相同的焦点，设 P 为抛物线与双曲线 C 的一个交点，且 cos P =
，则双曲线 C 的离心率为（ ）（2019 成都市高三三诊）
A 或 B 或 3 C 2 或 D 2 或 3
〖解析〗
1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性
质；
【解答思路】题中没有确定焦点在 X 轴还是 Y 轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离
心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只
考虑焦点在 X 轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出 a，c 的值，
然后根据椭圆离心率的公式 e= 求出结果；
【详细解答】如图 AB 是正三角形，A X 轴， y
A = ， |A |=2|A |，设|A | =2， A
则|A |=1，在 Rt A 中， tan = = x
1F 2F 1F ∆
2F
2
2
2
3
3
3
3
2
2 2
2 2
x y
a b
− 1F 2F 2y
∠ 1F 2F
5
7
2 3 2 3
c
a
∆ 2F 1F ⊥
∴ ∠ 2F 1F .30 ⇒ 2F 1F 2F
1F ∆ 1F 2F
.30 1
1 2
| |
| |
AF
F F 1F O 2F
1F 0 2F = ， c= ， |A |+ |A |=1+2=3=2a， a= ， e= = = 。
2、【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与
性质；④曲线交点的定义与求法；
【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在 X 轴上，根据问题条件结合双曲线，
抛物线的定义与性质分别求出 a，c 的值，然后由双曲线离心率的公式 e= 求出结果；
【详细解答】如图，过 作垂直于 X 轴的直线 l， y
过 P 作 PQ l 于 Q， 抛物线 =2px（p＞0）与 Q P
双双曲线 C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线 C
的一个交点， |PQ|=|P |， QP = P， O x
cos P = ， cos QP = =
= ， |P |= |P |，设|P |=7，则|P |=5， |P |-|P |=7-5=2=2a， a=1，
在 P 中， | P| = |P | +|| | -2|P || | cos P ， 25=49+4 -2
7 2c ， -5c+6=0， c=2 或 c=3， e= = 或 e= = e=2 或 e=3。
〖思考问题 1〗
（1）【典例 1】是运用公式 e= 求椭圆（或双曲线）离心率的问题，解答这类问题的关键
是根据题给条件求出椭圆的长半轴 a 和半焦距 c（或双曲线的实半轴 a 和半焦距 c）；
（2）注意从实例解析中体会椭圆（或双曲线）定义的巧妙运用，同时数形结合的数学思想
也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
[练习 1]解答下列问题：
1、设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 P
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A B C 2- D -1
2、（理）如图，在 ABC 中，已知 BAC= ， B
其内切圆与 AC 边相切于点 D，AD：DC=1：5，
延长 BA 到 E，使 BE=BC，连接 CE，设以 E，C A
为焦点且经过点 A 的椭圆的离心率为 ，以 E，C D
1
2c
3
3
∴ 3
2 1F 2F ∴ 3
2
⇒ c
a
3
2
3
2
3
3
c
a
1F
⊥
2y
∴ 2F ∠ 1F ∠ 2F 1F 1F 2F
∠ 1F 2F 5
7
∴ ∠ 1F
1
| |
| |
PQ
PF
2
1
| |
| |
PF
PF
5
7
⇒ 2F 5
7 1F 1F 2F ⇒ 1F 2F ⇒
∆ 1F 2F 2F 2
1F 2
1F 2F 2
1F 1F 2F ∠ 1F 2F ∴ 2c ×
× × 5
7
⇒ 2c ⇒ ∴ c
a
2
1
c
a
3
1
⇒
c
a
1F 2F 1F ∆ 1F 2F
2
2
2 1
2
−
2 2
∆ ∠ .120
1e为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 ，则当 C E
+ 取最大值时， 的值为 ；
（文）如图，在 ABC 中，已知 BAC= ，其内切圆与 AC 边相切于点 D，AD：
DC=1：5，延长 BA 到 E，使 BE=BC，连接 CE，设以 E，C 为焦点且经过点 A 的椭圆的离
心率为 ，以 E，C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 ，则 + 的值为 （2019
成都市高三零诊）
3、双曲线 =1（a＞0,b＞0）的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ；
【典例 2】解答下列问题：
1、已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别是椭圆 C
左右顶点，P 为椭圆 C 上一点，且 PF X 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 Y
轴交于点 E，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）（2016 全国高考新课标丙
卷）
A B C D
2、设 、 分别为双曲线 =1（a＞0,b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存
在一点 P，满足|P |=| |，且 到直线 P 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线
的离心率 e 为（ ）（2013 山西长治第二次质检）
A B C D
〖解析〗
1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③过定点的直线方程的
求法；④直线与曲线（或直线）的交点的求法；
【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定，由问题条件得到关于 a，c 的齐次方程，进一步
化为关于 e 的一元二次（或一元一次）方程，然后求解方程，根据椭圆离心率的取值范围求
出结果；
【详细解答】如图， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， y
与 Y 轴交于点 E， 直线 l 的方程为：y=kx+ka， PF X
轴， 直线 PF 的方程为：x=-c，由 y=kx+ka， M（-c， P E
由 y=kx+ka， x=-c， k(a-c)），
x=0, E（0，ka）， N(0， )， 直线 BM A B x
2e
1
2
e 2
1
e
AD
DC
∆ ∠ .120
1e 2e 1e 2e
2 2
2 2
x y
a b
−
2 2
2 2
x y
a b
+
⊥
1
3
1
2
2
3
3
4
1F 2F
2 2
2 2
x y
a b
−
2F 1F 2F 2F 1F
4
5
5
4
3
5
5
3
∴ ⊥
∴ ⇒
⇒ ⇒
2
ak
M N
F O
1F 0 2F 的方程为：y=- x + ， 点 N(0， )在直线 BM 上， =
a+c=2(a-c)， a=3c， = ， 椭圆离心率 e 满足：0
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