资料简介
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所
谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，
就达到了“割之又割，以至于不可再割，则
与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的
“极限”思想。
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：
推导方法：
分割 求近似和 化为准确和
复习回顾
球的概念
球心
球的半径
球的直径
二、球的概念
点集角度
• 旋转体角度
球面所围成的几何体叫球体简称球。
球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。
球体与球面的区别？
在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合
0
半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。
球体与球面的区别
？
球面概念：
球面所围成的几何体叫球体简称球。
0
A
C
D
球心
半
径
直径
半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面
（旋转体角度）
球面概念：
在空间内到一个定点的距离为定长的点的集
合（点集的角度）
二、球的概念
球的截面
的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
球的体积公式的推导
球的体积公式及应用
球的表面积公式及应用
球的表面积公式的推导
教学重点
教学难点
重点难点
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
R
高等于底面半径的旋转体体积对比
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以
我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
球的体积
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当
份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，
并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变
为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球的体积
分割 求近似和 化为准确和
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A
O B2
C2
球的体积
A
O
O
R
O
A
球的体积
球的体积
球的体积
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为
顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,
越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,
每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似
看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近
于甚至等于球的表面积.
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图
求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,
是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
球的表面积
球的表面积
第
一
步：
分
割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
则球的表面积：
则球的体积为：
O
O
球的表面积
第
二
步：
求
近
似
和 由第一步得：
OO
球的表面积
第
三
步
：
化
为
准
确
和
如果网格分的越细,则: “小锥
体”就越接近小棱锥
O
球的表面积
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它
的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它
的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
由计算器算得:
例题讲解
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,
至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各
个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方
体都是中心对称图形可知，它们中心重
合，则正方体对角线与球的直径相等。
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
例题讲解
O
A
B
C
例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距
离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的
体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，
截面⊙O′的半径为r，
例题讲解
O
A
B
C
例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离
等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，
表面积．
例题讲解
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿＿＿cm3.
8
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正
方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三
个球的体积之比_________.
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
练习一
课堂练习
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
课堂练习
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么
这个大铅球的表面积是______.
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，
则它的外接球的表面积为_____.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
则两球的直径之差为______.
练习二
课堂练习
了解球的体积、表面积推导的基本思路：
分割→求近似和→化为标准和的方法，是
一种重要的数学思想方法—极限思想，它
是今后要学习的微积分部分“定积分”内
容的一个应用；
熟练掌握球的体积、表面积公式：
课堂小结
课堂作业
习题9.11 P.74 5、6 、7、8
预习小结与复习P.75—P.77
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