资料简介
3.4 基本不等式：
第1课时 基本不等式
【知识提炼】
重要不等式与基本不等式
a=b
几何平均数
算术平均数
2ab
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？
提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立.
(2) 与 是等价的吗？
提示：不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
2.下列不等式正确的是( )
【解析】选C.因为a2+ 中a2>0，
所以 即
所以a2+ ≥2，故选C.
3.下列不等式中，对任意实数x都成立的是( )
A.lg(x2+1)≥lgx B.x2+1>2x
C. ≤1 D.logax+logxa≥2
【解析】选C.A中，x≤0时不成立；在B中，x=1时不成
立；对于D，当logax0，b>0)：①a2+1>2a；② ≤2；
③ab≤ ；④ 其中正确的有______.
【解析】a2+1=a2+12≥2a，故①错；由 ≤2，可得
a+b≤2 ，②显然错误；ab≤ ⇔2ab≤a2+b2，
③正确； ≤ ⇔2ab≤a2+b2，④正确.
答案：③④
【知识探究】
知识点 基本不等式
观察如图所示的内容，回答下列问题：
问题1：基本不等式中对于a，b有何限定条件？
问题2：如何用几何法推导出基本不等式？
【总结提升】对基本不等式的理解
(1)对于条件的理解
①a，b必须为正数.
②当a=b且只有在这唯一的条件下等号才成立.
(2)几何解释
以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，
CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，则CD= .
如图所示：
因为圆的半径为 ，所以 ≥ ，其中当且仅当
点C与圆心重合，即a=b时，等号成立，则该定理又可
以叙述为：半径不小于半弦.
【题型探究】
类型一 对基本不等式的理解及其简单应用
【典例】1.下列不等式①a2+1>2a；②a2+4≥4a；
③ ≥2；④ ≤ab.其中恒成立的是( )
A.①④ B.③④ C.②③ D.①②
2.(2015·营口高二检测)已知a>0，b>0，则下列不等
式不一定成立的是( )
【解题探究】1.典例1中如何判断④是否成立？
提示：当a，b异号时，式子 恒大于零，而ab2a错
误.由于a2-4a+4=(a-2)2≥0，所以a2+4≥4a恒成立；
同号，所以 ≥2恒成立.当a，b异号时，
式子 恒大于零，而ab1，b>1时，lga+lgb≥
C.当a>4时，
D.当ab1，b>1时，lga，lgb均为正数，所以
lga+lgb≥ 成立.
类型二 利用基本不等式进行大小比较与不等式的证明
【典例】1.(2015·四平高二检测)已知a>0，b>0，则
中最小的是( )
2.(2015·徐州高二检测)设a，b，c都是正数，求证：
【解题探究】1.典例1中可采取哪些方法进行比较大小
？
提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大
小.
2.典例2中如何利用基本不等式将 变形？
提示：因为a，b，c都是正数，所以 也都是正
数.所以
【解析】1.选D.方法一：特殊值法.
令a=4，b=2，则
所以 最小.
方法二： 由
可知 最小.
2.因为a，b，c都是正数，所以 也都是正数.
所以
三式相加得
即 ，当且仅当a=b=c时取等号.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例2改为“a，b，c都是负数，
求证：
【证明】因为a，b，c都是负数，所以 也都是负
数.所以
三式相加得2( )≤-2(a+b+c)，
即 ，
当且仅当a=b=c时取等号.
2.(改变问法)若典例2的条件不变，如何证明
【解析】因为a，b，c都是正数，所以
因此
即
当且仅当a=b=c时取等号.
【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注
意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助
不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最
后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐
步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等
式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形
成基本不等式模型，再使用.
【补偿训练】已知正数0
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