资料简介
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
人教版 数学 九年级 上册
24.1 圆的有关性质/
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
导入新知
24.1 圆的有关性质/
骑车运动
看了此画,你有何想法?
导入新知
【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可
以吗？
24.1 圆的有关性质/
2. 掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、
等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们
之间的区别和联系.
1. 认识圆，理解圆的定义.
素养目标
24.1 圆的有关性质/
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排
开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当
排成什么样的队形？
探究新知
圆的定义知识点 1
24.1 圆的有关性质/
甲
丙乙
丁
为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队.
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
·
r
O
A
圆的旋转定义（描述性定义）
在一个平面内，线段OA绕它固定
的一个端点O旋转一周，另一个端
点所形成的图形叫做圆．以点O为
圆心的圆，记作“⊙O”，读作“
圆O”.
有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫
做半径，一般用r表示．
观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
探究新知
24.1 圆的有关性质/
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
确定一个圆的要素
同心圆 等圆
半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同
探究新知
24.1 圆的有关性质/
圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.满足什么条件的？
有间隙吗？
圆也可以看成是由多个点组成的 到定点的距离等于定长
的点都在同一个圆上吗
？
探究新知
24.1 圆的有关性质/
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．
（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是
所有到定点O的距离等于定长r的点的
集合．
O ·
A
C E
r
r
r
r r
D
定长r
同一个圆上
圆的集合定义
【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？
探究新知
24.1 圆的有关性质/
圆的基本性质
o•同圆半径相等.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】 圆是一条曲线,还是一个曲面?
提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的
距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
A
B C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
圆的定义的应用素养考点 1
探究新知
24.1 圆的有关性质/
1.如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,
且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
巩固练习
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两
三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF,
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
24.1 圆的有关性质/
弦:
· CO
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦
不一定是直径.
探究新知
圆的有关概念圆的有关概念知识点 2
注
意
24.1 圆的有关性质/
O
A
B OA
B
探索：圆中最长的弦是什么？为什么
？
O
A
B
C
C
D
C
D
O
A
B
C
O
A
B
C
D
OA
BC
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为
端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的
ABC.
(
劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
等圆:
· CO
A能够重合的两个圆叫做等圆.
· CO1
A
容易看出，等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫
做等弧.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
可见这两条弧不可能完全重合
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧
”
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵︵
D
C
A
B
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？
探究新知
A
B
C
D
24.1 圆的有关性质/
例2 如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 和 .
A
B
C
EF
D
O
劣弧：
优弧：
AF,
(
AD,
(
AC,
(
AE.
(
AFE,
(
AFC,
(
ADE,
(
ADC.
(
AF
(
圆的有关概念的识别
ABF
(
素 养 考 点 2
探究新知
24.1 圆的有关性质/
2.在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是
直径;③如图所围成的图形是半圆.
其中正确的命题有 .
巩固练习
解析：
①
弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，
所以①正确,③不正确；
弦包括经过圆心的弦( 即直
径 )与不经过圆心的弦所以
②不正确；
24.1 圆的有关性质/
例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D
在半圆上，顶点B、C在直径MN上。（1）求证：OB=OC.
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ Ⅱ
10 ？
x
2x （2）设OB=x，则AB=2x，
在Rt△ABO中，
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .
圆的有关概念的应用
解：（1）连接OA，OD，
证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO
解得：
素 养 考 点 3
探究新知
24.1 圆的有关性质/
3. CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,且
AB=OC,则∠A=_______.24°
解析：∵OB=OC，AB=CO，∴AB=OB，
∴∠A=∠BOA.
又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO，
∵∠EBO=2∠A，∴∠E=2∠A，
又∵∠EOD=∠E+∠A，∴3∠A=∠EOD，
∵∠EOD=72°，∴∠A=24°
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
1.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点
之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的
墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳
定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
巩固练习
连 接 中 考
B
24.1 圆的有关性质/
连接中考
2.如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的
两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．0.5π
C．0.25π D．2π
巩固练习
连 接 中 考
B
24.1 圆的有关性质/
1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径 半径
一 二
四
四
课堂检测
基 础 巩 固 题
A B
C
D
O
F
E
24.1 圆的有关性质/
2. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距
离为10cm, 则这个圆的半径是 .7cm或3cm
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端
栓着一只羊，请画出羊的
活动区域．
5m
课堂检测
能 力 提 升 题
24.1 圆的有关性质/
求证：直径是圆中最长的弦.
证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.
CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC、OD，
则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
在△OCD中，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.
课堂检测
拓 广 探 索 题
24.1 圆的有关性质/
圆
定义
旋转定义
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关
键是确定圆心和半径
集 合 定 义 同圆半径相等
有关
概念
弦（直径） 直径是圆中最长的弦
弧 半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆同圆
等弧 能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧
课堂小结
24.1 圆的有关性质/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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