资料简介
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
人教版 数学 九年级 上册
24.1 圆的有关性质/
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角,
∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O
于B、C两点.
导入新知
24.1 圆的有关性质/
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.
2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定
理解决简单的几何问题.
4. 掌握圆内接多边形的概念及圆内接四边形的
性质并能运用其性质进行计算.
素养目标
24.1 圆的有关性质/
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
探究新知
圆周角的定义圆周角的定义知识点 1
24.1 圆的有关性质/
·
C O
AB
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角
并简述理由.
（2）（1） （3）
（5） （6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交√
√√
探究新知
24.1 圆的有关性质/
如图，连接BO、CO，得圆心角∠BOC.试猜想
∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
探究新知
圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论知识点 2
测量与猜想
24.1 圆的有关性质/
圆心O 在
∠BAC 的 内
部
圆心O在∠BAC
的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
探究新知
推导与论证
24.1 圆的有关性质/
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明：
探究新知
24.1 圆的有关性质/
O
A
B C
D
圆心O在∠BAC的内部
证明：连接AO并延长交⊙O于D.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
B
C
O
A
D
圆心O在∠BAC的外部
证明：连接AO并延长交⊙O于点D.
探究新知
24.1 圆的有关性质/探究新知
圆周角定理
一条弧所对的圆周
角等于它所对的圆心角
的一半；
24.1 圆的有关性质/
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC
相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC
答：相等.
证明：在⊙O中，
探究新知
互动探究
24.1 圆的有关性质/
D
A B
O
C
E
F
问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？
答：相等
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
证明：连接OC，OE，OD，OF
成立
90°
探究新知
24.1 圆的有关性质/
D
A B
O
C
E
F
答：相等
证明：连接OC，OE，OD，OF
探究新知
24.1 圆的有关性质/
A1
A2
A3
探究新知
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的
圆周角相等.
24.1 圆的有关性质/
试一试
如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在
点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º，理由
是 ;
(2)∠BDC= º，理由是 .
70
35 同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
探究新知
24.1 圆的有关性质/
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任
意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB
所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·OA
C
B
解：∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
探究新知
24.1 圆的有关性质/探究新知
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
24.1 圆的有关性质/
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大
小.
O
CA
B
解： ①∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
利用圆周角定理及推论求角的度数素 养 考 点 1
探究新知
24.1 圆的有关性质/
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，
则∠ABC＝______．
巩固练习
80°
24.1 圆的有关性质/
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
60° x
A
B
D
C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
2. 如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC
上的一点,则∠BPC=_____.
解析：连接BD,则BD是直径,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.
巩固练习
45°
24.1 圆的有关性质/
例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等素 养 考 点 2
探究新知
24.1 圆的有关性质/
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2) ∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解题妙招
在圆周角问题中，若题
干中出现“直径”这个
条件，则找直径所对的
圆周角，通过构造直角
三角形来解决。
探究新知
24.1 圆的有关性质/
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则
∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
C
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形
叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
探究新知
圆内接四边形圆内接四边形知识点 3
24.1 圆的有关性质/
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为
四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间
的关系为： ∠A+ ∠C=180º，
∠B+ ∠D=180º
想一想：如何证明你的猜想呢？
探究新知
探究性质
24.1 圆的有关性质/
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°
，
推论：圆内接四边形的对角互补.
证明：
探究新知
24.1 圆的有关性质/
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
探究新知
24.1 圆的有关性质/
推论：圆的内接四边形的任何一个
外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
探究新知
24.1 圆的有关性质/
例4 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于
D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
素养考点3 圆内接四边形性质的应用素 养 考 点 3
探究新知
24.1 圆的有关性质/
4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
A
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
1.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接
AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度
数是（ ）
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
巩固练习
连 接 中 考
D
24.1 圆的有关性质/
2.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则
∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
解析：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B、C、D在⊙O上∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°
巩固练习
连 接 中 考
D
24.1 圆的有关性质/
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等（ ）
（3）同弦所对的圆周角相等（ ）
√
×
×
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
BA
C
O
166°
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点
E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40°
C.50° D.60°
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
AB
C
D
O
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如∠BOD=130°则
∠BCD的度数是（ ）
A. 115° B. 130°
C. 65° D. 50°
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
课堂检测
能 力 提 升 题
24.1 圆的有关性质/
船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是
否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经
过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C
都是有触礁危险的临界点，∠ACB
就是“危险角”，当船位于安全区
域时，∠α与“危险角”有怎样的
大小关系？
课堂检测
拓 广 探 索 题
24.1 圆的有关性质/
解：当船位于安全区域时，即船位
于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两
个灯塔的夹角∠α小于“危险角
”.即：在⊙O中，∠ACB=∠AEB
在△PEB中，∠AEB=∠α ∠ACB=∠α
课堂检测
拓 广 探 索 题
24.1 圆的有关性质/
圆心角 类比 圆周角
圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的
推论
在同圆或等圆中，同弧
或等弧所对的圆周角相
等，都等于该弧所对的
圆心角的一半；相等的
圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所
对的弦是直径；
2.圆内接四边形的
对角互补.
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相
交的角（二者必
须同时具备）
圆周角与直
径的关系
半圆或直径
所对的圆周
角是直角.
课堂小结
24.1 圆的有关性质/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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