资料简介
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
北师大版 数学 八年级 上册
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
新年来临爸爸想送小明一个书包和随身听作为新年礼
物．爸爸对小明说：“我在家乐福、人民商场都发现同款
的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单
价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，
你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你
做新年礼物”.
你能帮助他吗？
导入新知
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
1. 会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列
出二元一次方程组解决实际问题.
2. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题
的过程.
素养目标
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某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年
总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年
的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
我们来拆分解释一
下这个问题.
探究新知
知识点 利用表格分析列二元一次方程组解答问题
问题探究
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少
了10%,则今年的总支出是__________万元;
3. 该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程
___________________________.
1. 若该厂去年的总收入是x万元,今年的总收入比去年增
加了20%,则今年的总收入是__________万元;(1+20%) x
(1+20%) x- (1-10%) y=780
(1-10%) y
探究新知
提炼问题
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1.去年的总收入—去年的总支出=200万元
3.今 年 的 总 收 入 =去 年 总 收 入
×(1+20%） 4.今 年 的 总 支 出 =去 年 的 总 支 出 ×(1-
10%）
2.今年的总收入—今年的总支出=780万元
找出等量关系.
探究新知
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总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元
x y 200
(1+20%) x (1-10%) y 780
得到两个等式： x-y=200
(1+20%)x-(1-10%)y=780
探究新知
把分析信息用表格表示
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解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总
产值（1+20%）x万元，今年的总支出（1-10%）y万元.由
题意得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
探究新知
解得
①
②
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列二元一次方程组解答数量问题素 养 考 点 1
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每
克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单
位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40
单位铁质, 那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人
的需要?
例1
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解:设每餐需甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:
甲原料x
克
乙原料
y克
所配的营养
品
其中所含蛋
白质
其中所含铁
质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
探究新知
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①- ②,得 5y=150，
y=30
，把y=30代入①,得x=28.
答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
根据题意,得方程组 0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40.
5x+7y=350， ①
5x+2y=200. ②化简,得
探究新知
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归纳小结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知
数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答
.
数量关系
字母
2
代入消元 加减消元法
探究新知
注:复杂问题
借助表格分
析”
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某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1
个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个
大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300
名学生就餐？请说明理由.
巩固练习
变式训练
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解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，，
x+2y=1680
2x+y=2280
解得:
x=960
y=360
(2)若7个餐厅同时开放，则有
5×960+2×360=5320
答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生
就餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生
就餐.
5320>5300
依题意得
巩固练习
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例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行.如果甲比乙
先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙
比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求
甲、乙两人每小时各走多少千米？
探究新知
素 养 考 点 2 列二元一次方程组解答行程问题
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36千米
甲先行2小时走的路程 乙出发后甲、乙2.5小时共走路程
甲 乙
相
遇
如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发
后经2.5小时相遇；
探究新知
线段图分析
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
乙
相
遇
36千米
甲出发后甲、乙3小时共走路程 乙先行2小时走的路程
甲
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发
后经3小时相遇；
探究新知
线段图分析
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米
甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行
走的路程之和
第一种情况
（甲先走2
小时）
第二种情况
（乙先走2
小时）
探究新知
表格数量分析
2x+2.5x
3x
2.5y
2y+3y
36
36
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解：设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米，则有
探究新知
2x+2.5x+2.5y=36
3x+3y+2y=36
解得: x=6
y=3.6
答：甲每小时走6千米、乙每小时走3.6千米.
化简得: 9x+5y=72
3x+5y=36
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甲、乙两人相距6千米,两人同时出发，同向而行,甲3小
时可追上乙；相向而行,1小时相遇,两人平均速度各是多
少?解：设甲的平均速度是每小时x千米，乙的平均速
度是每小时y千米，根据题意，得
3x=3y+6，
x+y＝6.
x=4，
y=2. 解得
答：甲的平均速度是每小时4千米，乙的平均速度是
每小时2千米.
新知探究
巩固练习
变式训练
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（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过
2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付
了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租
车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
D
连接中考
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1.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实
力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比
为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．
若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应
为（ ）
课堂检测
基 础 巩 固 题
A. B.
C. D.
D
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2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商
品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比
原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价
分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 （ ）
B.A.
C
C. D.
基 础 巩 固 题
课堂检测
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
3.某人以两种形式存8000元,一种储蓄的年利率为10%,另一种
储蓄的年利率为11%.一年到期后,他共得利息855元(没有利息
税),问两种储蓄他各存了多少钱?
解：设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
x =5500,
y=2500.解得
答：年利率为11%的存5500元,年利率10%存2500元.
基 础 巩 固 题
课堂检测
x + y=8000，
11%x+10%y=855.
根据题意，得：
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4.A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2
小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的平均速度
与风速.
课堂检测
基 础 巩 固 题
解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h,
根据题意可列方程组 解得： x = 420，
y = 60.
答：飞机的平均速度为420km/h，风速为60km/h.
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千
米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用
多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y
千米/时.
答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为
2.5千米/时.
能 力 提 升 题
课堂检测
解得：即
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲
先走6千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与甲同时到达B地；
如果甲先走1小时，那么乙用 小时可追上甲，求两人的速度．
拓 广 探 索 题
课堂检测
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时,则
答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.
解得：
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/
列方程组解决实
际问题
增长率、利润问题
利用图表分析等量关系
课堂小结
方法
行程问题
应用
5.4 应用二元一次方程组——增收节支/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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