资料简介
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
5.5 应用二元一次方程组
——里程碑上的数
北师大版 数学 八年级 上册
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.
归时四分行六百，风速多少才称雄？
导入新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
1. 利用二元一次方程解决数字问题和行程问题
.
2. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题
的过程.
素养目标
3. 能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组
解决问题.
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是
小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到
的里程碑上的数吗？
是一个两位数，
它的两个数字
之和为7．
十位与个位数字
与12:00时所看
到的正好互换了
．
比12:00时看
到的两位数中
间多了个0．
知识点 1 列二元一次方程组解答数字问题
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
是一个两位数，
它的两个数字之
和为7．
十位与个位数字与
12:00时所看到的
正好互换了．
比12:00时看到
的两位数中间
多了个0．
10x + y
x + y = 7
（1）12:00时小明看到的数可表示为 ，
根据两个数字和是7，可列出方程 .
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
是一个两位数，
它的两个数字
之和为7．
十位与个位数字与
12:00时所看到的
正好互换了．
比12:00时看到
的两位数中间
多了个0．
10y + x
（10y +x）- （10x +y）
（2）13:00时小明看到的数可表示为 ,
12:00～13:00间摩托车行驶的路程是 .
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
是一个两位数，
它的两个数字之
和为7．
十位与个位数字与
12:00时所看到的
正好互换了．
比12:00时看到
的两位数中间
多了个0．
100x + y
（100x +y ）- （10y +x ）
（3）14:00时小明看到的数可表示为 ,
13:00～14:00间摩托车行驶的路程是 .
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
是一个两位数，
它的两个数字之
和为7．
十位与个位数字
与12:00时所看到
的正好互换了．
比12:00时看到
的两位数中间
多了个0．
（4）12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程
有什么关系？你能列出相应的方程吗？
探究新知
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字
是y，那么
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
是一个两位数，
它的两个数字
之和为7．
十位与个位数字
与12:00时所看到
的正好互换了．
比12:00时看
到的两位数中
间多了个0．
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，
那么根据以上分析，得方程组：
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
探究新知
x+y=7
(100x+y)-(10y+x)=(10y+x)-(10x+y)
解这个方程组，得
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
12：00是一个两位数，它的两个数字之和为7；
13：00十位与个位数字与12：00所看到的正好互换了；
14： 00比12：00时看到的两位数中间多了个0．
分析：设小明在12：00看到的数十位数字是x，个位数字是y,那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
12：00
13：00
14：00
x y 10 x ＋ y
y x 10 y ＋ x
x 0 y 100 x ＋ y
相等关系：① 12：00看到的数，两个数字之和是7
②路程差相等
探究新知
表格分析数量关系
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
小结：对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题中的未知
量，已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为
简单问题.
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，
个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解得
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.
探究新知
整理得
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意，得：
解这个方程组,得:
答:这两个两位数分别是45和23.
x+y=68
(100x+y)-(100y+x)=2178
x=45
y=23
探究新知
两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的
两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的
两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数
大2178, 求这两个两位数.
例
素 养 考 点 1 列二元一次方程组解答数字问题
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如
果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位
数比原两位数大9，求原来的两位数．
分析: 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适
的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以
不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为：十位
数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个
位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列出方程
组．
巩固练习
变式训练
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
归纳小结: 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个
两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数
．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，
列出方程组，再进行求解．
解：设个位上的数字为x，十位上的数字为y.
解这个方程组得:
10y＋x＝56.
答：原来的两位数为56.
巩固练习
根据题意，得
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始
终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分
钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.
问小华家离学校多远？
知识点 2 列二元一次方程组解答复杂行程问题
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下
坡路.
平路：60 m/min 下坡路
：80 m/min上坡路
：40 m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
路程=平均速度×时间
10
15
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
方法一（直接设元法）
平路
时间
坡路
时间
总
时
间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以小明家到学校的距离为700m.
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
方法二（间接设元法）
平路
距离
坡路
距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间
为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以小明家到学校的距离为700m.
故平路距离：60×（10-5）=300（m）
坡路距离：80×5=400（m）
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/探究新知
素 养 考 点 1 列二元一次方程组解答复杂行程问题
例 张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而
行.若张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，
他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11
千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？
思考：题目中给了哪些相关的量？
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
2y千米
张强2.5小时走的路程 李毅2小时走的路程
11千米
0.5x千米 2x千米
(1) A B
x千米 y千米
(2
)
A B
解：设张强、李毅每小时各走x, y千米，由题意得
答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.
分析：如下图（1）、（2）所示
探究新知
方程组
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126
km，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，
经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车
和货车的速度分别为x km/h、y km/h，则下列方程组正确的是
（ ）
巩固练习
A. B.
C. D.
D
变式训练
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
（2019•大连）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大
器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．
”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可
以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5
个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛
？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，
可列方程组为____________．
连接中考
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
1.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为
下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的
平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖
上、下坡的路程分别是（ ）
A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km；
C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km．
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
2.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小
的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上
一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数
得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是
72，求这两个两位数．
解：设大的两位数是x，小的两位数是y，则第一个五位数是
1000x+y，第二个五位数是1000y+10x，由题意，得：
所以这两个两位数分别为21和10.
课堂检测
基 础 巩 固 题
1000x+y=2(1000y+10x)+590
2x+3y=72 解得： x＝21
y＝10
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
解：设的甲速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，
3. A,B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行
到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，
甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
答：甲速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时.
课堂检测
基 础 巩 固 题
4(x+y)=36
36-6x=2(36-6y)根据题意得： x=4
y=5解得：
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲
地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙
地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）
分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地
的下坡路和上坡路.
解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米.根据题
意得
课堂检测
能 力 提 升 题
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味的和10包
原味的共花了146元，乙客户购买了6包五香味的和8包原味的共
花了88元.
（1）现在老师带了200元，能否买到10包五香味牛肉干和20包
原味牛肉干？
解：设五香味每包x元，原味每包y元.
依题意，可列方程组： 解得：
所以老师带200元能买到所需牛肉干.
拓 广 探 索 题
课堂检测
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
解：设刚好买五香味x包，原味y包.
（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干
的包数组合形式？
因为x，y为非负整数
拓 广 探 索 题
课堂检测
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们
往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，
应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
课堂小结
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
查看更多
