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7.2 定义与命题/ 7.2 定义与命题 (第2课时) 北师大版 数学 八年级 上册 7.2 定义与命题/ 如何证实一个命题是真命题呢? 用我们以前 学过的观察 ,实验,验证 特例等方法 . 这些方法往往 并不可靠. 那已经知道的 真命题又是如 何证实的? 能不能根据 已经知道的 真命题证实 呢? 哦……那可 怎么办 导入新知 7.2 定义与命题/ 1. 知道什么是公理,什么是定理,理解证明的概念. 2.了解真命题的证明、公理化思想,以及证明的出发点, 通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式. 素养目标 3. 理解证明要步步有据,培养学生养成科学严谨的学习 态度. 7.2 定义与命题/ 了解《原本》与《几何原本》;了解古希腊数学家欧几 里得(Euclid,公元前300前后);找出下列各个定义并举例. 1.原名: 2.公理: 3.证明: 4.定理: 知识点 1 公理、证明、定理的概念 探究新知 某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过 演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证 明.经过证明的真命题称为定理. 7.2 定义与命题/ 归纳总结 证实其他命 题的正确性 推 理 演绎推理的 过程叫证明 经过证明的真 命题叫定理 原名、公理 一些条件 + 探究新知 7.2 定义与命题/ 本套教科书选用九条,我们已经认识了其中的八条: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这 两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行); 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等. 公理 探究新知 7.2 定义与命题/ 等式的有关性质和不等式的有关性质(以 后将会学到)都可以看作公理. “在等式或不等式中,一个量可以用它的 等量来代替”.这一性质也看作公理,简称 为“等量代换”. 其他公理 探究新知 7.2 定义与命题/ 证明定理“对顶角相等” 如图,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与 ∠BOD是对顶角.求证:∠AOC =∠BOD 证明: ∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ). 已知 平角的定义 ∴ ∠AOC+∠AOD=180°. 补角的定义 ∴ ∠AOC =∠BOD ( ).同角的补角相等 ∵直线AB与直线CD相交于点O ( ), ∠BOD+∠AOD=180° ( ). 探究新知 知识点 2 证明的过程 例 7.2 定义与命题/ 根据题设、结论,结合图形,写出已知、求证,经过分析 找出由已知推出结论的途径,写出证明过程,并注明依据. 证明过程的注意事项: 证明的每一步推理都要有根据,不能“想当然”. 这些根据,可以是已知条件,也可以是学过的定义、 基本事实、定理等. 证明的书写格式: 探究新知 7.2 定义与命题/ 证明定理 :同角的补角相等. 已知:∠2是∠1的补角, ∠3是∠1的补角. 求证:∠2=∠3. 证明: ∴ ∠2+∠1=180°( ). 已知 补角的定义 ∴ ∠2= 180°-∠1 ( ).等式的性质 ∵∠3是∠1的补角( ),已知 ∴ ∠3+∠1=180°( ).补角的定义 ∴ ∠3= 180°-∠1 ( ).等式的性质 ∴ ∠2=∠3( ).等量代换 ∵∠2是∠1的补角( ), 巩固练习 1 32 7.2 定义与命题/ 分析:要证明AB,CD平行,就需要同位角相等的 条件,图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到: 能说明它们相等的条件就行了. 从图中,我们可以发现:∠2与∠3是对顶角, 所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确 切条件了. 例 如图,∠1=∠2,试说明直线AB,CD平行. 素养考点 证明推理的应用 探究新知 7.2 定义与命题/ 证明: ∵∠2与∠3是对顶角 ∴∠3=∠2 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AB∥CD 探究新知 (对顶角的定义) ,(对顶角的性质) . (已知), (等量代换). (同位角相等,两直线平行) . 7.2 定义与命题/ 如图所示,直线AB和直线CD,直线BE和直线CF都被直线BC所 截,在下面三个式子中,请你选择其中两个作为题设,剩下的 一个作为结论,组成一个真命题并写出对应的推理过程 ①AB∥CD,②BE∥CF,③∠1=∠2 题设(已知): .… 结论(求证): ... ①② ③ 巩固练习 变式训练 7.2 定义与命题/ 证明:∵AB∥CD ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE∥CF ∴∠EBC=∠FCB ∵∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB ∴∠1=∠2. 巩固练习 (已知), (两直线平行,内错角相等) .(已知), (两直线平行,内错角相等). (等式的性质), 7.2 定义与命题/ (2019•武汉)如图,点A, B, C, D在一条直线上,CE与BF交于 点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:∠E=∠F. 连接中考 解:∵CE∥DF, ∴∠ACE=∠D, ∵∠A=∠1, ∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1, 又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A,∠F=180°﹣∠ D﹣∠1, ∴∠E=∠F. 7.2 定义与命题/ 1.“两点之间,线段最短”这个语句是( ) A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 2.“同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”这个语句 是( ) A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 B C 课堂检测 基 础 巩 固 题 7.2 定义与命题/ 3.下列句子中,是定理的是( ),是公理的 是( ). A.若a=b,b=c,则a=c; B.对顶角相等; C.全等三角形的对应边相等,对应角相等. B,C A 课堂检测 基 础 巩 固 题 7.2 定义与命题/ 4.在下面的括号内,填上推理的依据. 如图,AB ∥ CD,CB ∥ DE , 求证∠ B+ ∠D=180°. 证明: ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).等量代换 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 基 础 巩 固 题 课堂检测 A B C E D 7.2 定义与命题/ 5. 已知:b∥c, a⊥b . 求证:a⊥c. 证明: ∵ a ⊥b(已知), ∴ ∠1=90°(垂直的定义). 又 b ∥ c(已知), ∴ ∠2=∠1=90°(两直线平行,同位角相等). ∴ a ⊥ c(垂直的定义). a b c 1 2 课堂检测 基 础 巩 固 题 7.2 定义与命题/ 填空 已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4, 求证:EG∥FH. 证明:∵∠1=∠2(已知) ∠AEF=∠1 ( ), ∴∠AEF=∠2 ( ). ∴AB∥CD ( ). ∴∠BEF=∠CFE ( ). ∵∠3=∠4(已知), ∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3, 即∠GEF=∠HFE ( ). ∴EG∥FH ( ). 对顶角相等 等量代换 同位角相等,两直线平行 两直线平行,内错角相等 等式性质 内错角相等,两直线平行 课堂检测 能 力 提 升 题 7.2 定义与命题/ 证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠BPQ=∠CQP(两直线平行,内错角相等). 又∵PG平分∠BPQ,QH平分∠CQP(已知), ∴∠GPQ= ∠BPQ,∠HQP= ∠CQP(角平分线的定义), ∴∠GPQ=∠HQP(等量代换), ∴PG∥HQ(内错角相等,两直线平行). 如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被直线 MN所截,交点分别为P,Q,PG平分∠BPQ, QH平分∠CQP,求证PG∥HQ. A B C D M N P Q H G 拓 广 探 索 题 课堂检测 7.2 定义与命题/ 公理、定 理、证明 证明:推理的过程 公理:公认的真命 题 定理:经过证明的 真命题 概念 课堂小结 证明的过程 7.2 定义与命题/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 查看更多

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