资料简介
7.2 定义与命题/
7.2 定义与命题
（第2课时）
北师大版 数学 八年级 上册
7.2 定义与命题/
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前
学过的观察
,实验,验证
特例等方法
.
这些方法往往
并不可靠.
那已经知道的
真命题又是如
何证实的?
能不能根据
已经知道的
真命题证实
呢?
哦……那可
怎么办
导入新知
7.2 定义与命题/
1. 知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念.
2.了解真命题的证明、公理化思想，以及证明的出发点，
通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式.
素养目标
3. 理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习
态度.
7.2 定义与命题/
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几
里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例．
1.原名:
2.公理:
3.证明:
4.定理:
知识点 1 公理、证明、定理的概念
探究新知
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过
演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证
明.经过证明的真命题称为定理.
7.2 定义与命题/
归纳总结
证实其他命
题的正确性
推 理
演绎推理的
过程叫证明 经过证明的真
命题叫定理
原名、公理
一些条件
+
探究新知
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本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:
1.两点确定一条直线;
2.两点之间线段最短;
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
8.三边分别相等的两个三角形全等.
公理
探究新知
7.2 定义与命题/
等式的有关性质和不等式的有关性质（以
后将会学到）都可以看作公理．
“在等式或不等式中,一个量可以用它的
等量来代替”.这一性质也看作公理,简称
为“等量代换”.
其他公理
探究新知
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证明定理“对顶角相等”
如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与
∠BOD是对顶角.求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ).
已知
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°.
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )，
∠BOD＋∠AOD＝180° ( ).
探究新知
知识点 2 证明的过程
例
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根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析
找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据.
证明过程的注意事项：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、
基本事实、定理等.
证明的书写格式:
探究新知
7.2 定义与命题/
证明定理 ：同角的补角相等.
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角.
求证：∠2=∠3.
证明：
∴ ∠2＋∠1=180°( ).
已知
补角的定义
∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( ).等式的性质
∵∠3是∠1的补角( ),已知
∴ ∠3＋∠1＝180°( ).补角的定义
∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( ).等式的性质
∴ ∠2=∠3( ).等量代换
∵∠2是∠1的补角( ),
巩固练习
1
32
7.2 定义与命题/
分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的
条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：
能说明它们相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，
所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确
切条件了.
例 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.
素养考点 证明推理的应用
探究新知
7.2 定义与命题/
证明：
∵∠2与∠3是对顶角
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AB∥CD
探究新知
（对顶角的定义）
,（对顶角的性质）
. （已知）,
（等量代换）.
（同位角相等，两直线平行）
.
7.2 定义与命题/
如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所
截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的
一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程
①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2
题设(已知): .…
结论(求证)： ...
①②
③
巩固练习
变式训练
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证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠DCB
又∵BE∥CF
∴∠EBC＝∠FCB
∵∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB
∴∠1＝∠2.
巩固练习
（已知）,
（两直线平行，内错角相等）
.（已知）,
（两直线平行，内错角相等）.
（等式的性质）,
7.2 定义与命题/
（2019•武汉）如图，点A, B, C, D在一条直线上，CE与BF交于
点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
连接中考
解：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠ D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
7.2 定义与命题/
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句
是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
B
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
7.2 定义与命题/
3.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的
是（ ）.
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等;
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
B,C
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
7.2 定义与命题/
4.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证∠ B+ ∠D=180°.
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
基 础 巩 固 题
课堂检测
A B
C
E
D
7.2 定义与命题/
5. 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）,
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又 b ∥ c（已知）,
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b c
1 2
课堂检测
基 础 巩 固 题
7.2 定义与命题/
填空
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF=∠1 （ ）,
∴∠AEF=∠2 （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
∴∠BEF=∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）,
∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3,
即∠GEF=∠HFE （ ）．
∴EG∥FH （ ）．
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式性质
内错角相等，两直线平行
课堂检测
能 力 提 升 题
7.2 定义与命题/
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线
MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，
QH平分∠CQP，求证PG∥HQ.
A B
C D
M
N
P
Q
H G
拓 广 探 索 题
课堂检测
7.2 定义与命题/
公理、定
理、证明 证明：推理的过程
公理：公认的真命
题
定理：经过证明的
真命题
概念
课堂小结
证明的过程
7.2 定义与命题/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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