资料简介
习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分
线，你发现了什么?
用心想一想，马到功成
发现：三角形的三个内角
的角平分线交于一点．这一点
到三角形三边的距离相等．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的
角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同
样的结论?与同伴交流．
D
F
E
MN
CB
A
P
用心想一想，马到功成
D
E
F
MN
CB
A
P
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理：三角形的三条角平分线相交于
一点，并且这一点到三条边的距离相等．
三角形角平分线的性质定理
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角
形
锐角三角形 交于三角形内一点
交于三角形内
一点钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点
的距离相等
到三角形三边
的距离相等
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路
，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离
相等，则可选择的地址有几处？
满足条件共4个
P
1P
l3
l 2
1l
C
B
A
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[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是
△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
用心想一想，马到功成
D
A
B
E
C
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°=45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是
△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
用心想一想，马到功成
D
A
B
E
C
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
课堂小结, 畅谈收获：
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明
了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形
各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定
理等解决了几何中的计算和证明问题．
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的
交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已
知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
CB
A
ED O
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