资料简介
1.2 一定是直角三角形吗/
1.2 一定是直角三角形吗
（1）
（2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
北师大版 数学 八年级 上册
1.2 一定是直角三角形吗/
小明找来了长度分别为12cm,40cm的两根线,利用
这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图
形,他画的是直角三角形吗?
问题思考
导入新知
1.2 一定是直角三角形吗/
1. 探索和掌握勾股定理的逆定理，并
能理解勾股数的概念.
2. 经历证明勾股定理的逆定理的过程，能利
用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角
三角形.
素养目标
1.2 一定是直角三角形吗/
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角
.
这种方法对吗？
探究新知
知识点 1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理
1.2 一定是直角三角形吗/
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究新知
1.2 一定是直角三角形吗/
问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
做一做 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别
以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
探究新知
1.2 一定是直角三角形吗/
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
因为32+42=52，所以满足.
a2+b2=c2
探究新知
1.2 一定是直角三角形吗/
我觉得这个猜
想不准确，因
为测量结果可
能有误差.
我也觉得猜想不严
谨，前面我们只取
了几组数据，不能
由部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这
个三角形是直角三角形.
探究新知
1.2 一定是直角三角形吗/
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且 .
A
B
b
c证明：作∆A1B1C1
在△ABC和△A1B1C 1中，
Ca
求证：∠C=90°.
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
所以∠C=∠C1
=90°.
探究新知
B
A
B1C1=a，C1A1=b,
A1B1
2=B1C1
2+C1A1
2=a2+b2
因为a2+b2=c2 所以A1B1 =c
，
所以AB=A1B1
≌所以∆ABC ∆A1B1C1，
a
b
C1
A1
B1
1.2 一定是直角三角形吗/
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形
.
探究新知
提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三
角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，
即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这
个三角形是直角三角形.
bc
CaB
A
勾股定理的逆定理：
1.2 一定是直角三角形吗/
例 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那
么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=20 ，c=25;
解：(1)因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾
股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾
股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
探究新知
素 养 考 点 1 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三
角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方
.
1.2 一定是直角三角形吗/
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4
C. 4,5,6 D. 6,10,8
D
巩固练习
变式训练
1.2 一定是直角三角形吗/
一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件
中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各
边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗?
探究新知
勾股定理的逆定理的应用知识点 2
例
1.2 一定是直角三角形吗/
分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就
可以判定是直角三角形.
探究新知
解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,
所以△ABD是直角三角形,∠A是直角.
在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,
所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.
因此,这个零件符合要求.
1.2 一定是直角三角形吗/
方法点拨
探究新知
勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角
三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质
之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判
断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判
定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和
结论刚好相反.
1.2 一定是直角三角形吗/
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中
有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流
.
4
1
2 2
4
3
解:△ABE，△DEF，△FCB
均为直角三角形,
由勾股定理知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25,
所以BE2+EF2=BF2,
所以△BEF是直角三角形.
巩固练习
1.2 一定是直角三角形吗/探究新知
知识点 3 勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形
是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，
40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新
数，这组数同样是勾股数.
1.2 一定是直角三角形吗/
下列各组数是勾股数的是 (
)
A.3，4，6 B.6，7，8
C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13
D
巩固练习
温馨提示：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先
排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方
和即可.
1.2 一定是直角三角形吗/连接中考
（2019•威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AM
＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再
以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接
AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
1.2 一定是直角三角形吗/
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.2 一定是直角三角形吗/
3.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，
试判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,
所以△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.2 一定是直角三角形吗/
A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，
C地在B地的什么方向？
解：因为AB2+BC2 = 122+52
=144+25
=169，
AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，
所以△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.
课堂检测
能 力 提 升 题
1.2 一定是直角三角形吗/
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，所以△AEF为直角三角形，
且AE为斜边．所以∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一
点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
课堂检测
拓 广 探 索 题
1.2 一定是直角三角形吗/
勾股定理
的逆定理
内 容
作 用 从三边数量关系判定一个三角
形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满
足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形.
注 意 最长边不一定是c， ∠C也不一
定是直角.
勾 股 数 一 定 是正 整 数
课堂小结
勾 股 数
1.2 一定是直角三角形吗/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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