资料简介
1.3 勾股定理的应用/
1.3 勾股定理的应用
北师大版 数学 八年级 上册
N
EP
Q
R 12
1.3 勾股定理的应用/
在同一平面内，两点之间,线段最短
从行政楼A点
走到教学楼B点
怎样走最近？
教
学
楼
行政楼
B
A
你能说出这
样走的理由吗
？
导入新知
1.3 勾股定理的应用/
1. 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短
距离问题.
2. 运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
素养目标
3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.
1.3 勾股定理的应用/
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行
到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2 .有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
A
我要从A点沿侧面
爬行到B点，怎么
爬呢？大家快帮我
想想呀！
探究新知
知识点 1 利用利用勾股定理解答最短路径问题勾股定理解答最短路径问题
1.3 勾股定理的应用/
B
A
d
A
BA'
A
BB
A
O
想一想
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm
，则:
B
A
r O
12
侧面展开
图 12
18÷2
A
B
小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图
形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短
确定最短路线.
A' A'
探究新知
AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15.
1.3 勾股定理的应用/
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好
建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油
罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
因为AA'=2×3×2=12, A'B'=5m,
所以AB'=13m. 即梯子最短需13米.
素 养 考 点 1 利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
数学思想：
立体图形 平面图形
转化
展开
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
如图所示,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下
底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点
处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱
体的侧面爬到B点,最短路程是多少?(π取3)
3 勾股定理的应用巩固练习
变式训练
1.3 勾股定理的应用/
解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB
的长即为蜘蛛爬行的最短路程.
根据题意得AC=20 cm,BC= ×2×π×5=15(cm).
在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得
AB2=BC2+AC2=152+202=252,
所以AB=25 cm,最短路程是25cm.
3 勾股定理的应用巩固练习
1.3 勾股定理的应用/
B
牛奶盒
A
例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，
把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，
你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？
6cm
8cm
10cm
素 养 考 点 2 利用勾股定理解决长方体的最短路线问题
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
长
方
体
爬
行
路
径
A B
FE
H G
A B
CD
E F
GH
前（后）
上（下）
A B
CD
E F
GH
B C
GF
E H
A B
CD
E F
GH
右（左）
上（下）
前（后） 右（左）
B CA
E F G
探究新知
分
析
1.3 勾股定理的应用/
B
B1
8
A
B2
610
B3 AB1
2 =102 +（6+8）2 =296
AB2
2= 82 +（10+6）2 =320
AB3
2= 62 +（10+8）2 =360
探究新知
因为360＞320＞296
所以AB1 最短.
1.3 勾股定理的应用/
A
B
点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两
点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路
程的平方是多少？
前
上
A
B
A
B
左
上
A
B
前
右
巩固练习
变式训练
1.3 勾股定理的应用/
A
B
C
解:如图所示
在Rt△ABC中,
利用勾股定理可得，
AB 2 =AC2+BC2
=20 2+102
= 500
10 10
10
巩固练习
所以AB2=500.
1.3 勾股定理的应用/
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否
分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量
出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
知识点 2 利用勾股定理的逆定理解答实际问题利用勾股定理的逆定理解答实际问题
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm.
AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于
AB边.
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办
法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,
在AB上取点N使AN=12,测量
MN是否是15，是，就是垂直；
不是，就是不垂直.
探究新知
1.3 勾股定理的应用/
例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方
形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝
6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格
？
解：因为AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
所以AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又因为AC2＝92＝81，
所以AB2＋BC2≠AC2，∠ABC≠90°，
所以该农民挖的不合格．
探究新知
素 养 考 点 1 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
1.3 勾股定理的应用/
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地
方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为
0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为
x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，有
x2=1.52+22 ,x =2.5
故，最长是2.5+0.5=3(米)
答:这根铁棒的最长3米，最短2米.
故，最短是1.5+0.5=2(米)
当最短时:x =1.5
A C
B
最短是多少米
？
变式训练
巩固练习
1.3 勾股定理的应用/
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与
AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
故滑道AC的长度为5m.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为
x m，AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
探究新知
例
知识点 3 利用勾股定理解答长度问题利用勾股定理解答长度问题
1.3 勾股定理的应用/
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先
出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他
以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距
多远？
解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，
10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则:
AB =2×6=12(千米), AC =1×5=5(千米).
在Rt△ABC 中,
所以BC =13(千米)
即甲乙两人相距13千米.
巩固练习
BC2=AC2+AB2 =52+122=169=132
1.3 勾股定理的应用/
C
B A
D
探究新知
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
素 养 考 点 1 利用勾股定理的逆定理解答面积问题
1.3 勾股定理的应用/
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30
cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解:因为S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
所以AC=5 cm.
又因为
所以△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
所以
D C
B
A
巩固练习
变式训练
1.3 勾股定理的应用/
（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm
，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在
杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到
内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．
解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点
A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B= ．
故答案为20．
20
连接中考
20（cm
）
1.3 勾股定理的应用/
B
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他
们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）D
A. B.
C. D.
1.3 勾股定理的应用/
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东
25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400
m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )
A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上
C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
1.3 勾股定理的应用/
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又因为A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
所以A，B两组行进的方向成直角．
基 础 巩 固 题
课堂检测
A
O B
1.3 勾股定理的应用/
4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻
行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行
驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2
秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
车速检测仪
小汽车
30米
30°
北
60°
解：小汽车在车速检测仪
的南偏东60°方向或北偏
西60°方向.
25米/秒=90千米/时>70千米/时
所以小汽车超速了.
2秒后
50米
40米
基 础 巩 固 题
课堂检测
1.3 勾股定理的应用/
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD
＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC
的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
能 力 提 升 题
课堂检测
1.3 勾股定理的应用/
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
所以△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
能 力 提 升 题
课堂检测
A
D
B
C
3
4
13
12
1.3 勾股定理的应用/
如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，
点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿
CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求
PQ的长．
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，因为周长为
36cm，即AB+BC+AC=36cm，
所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，过3秒时，
BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得
课堂检测
拓 广 探 索 题
所以3x+4x+5x=36，解得x=3.
P
C
BA
Q
1.3 勾股定理的应用/
勾股定理及逆
定理的应用
应 用
最短路径问题
方 法 认真审题,画出符合题意的图
形,熟练运用勾股定理及其逆
定 理 来 解 决 问 题
解决不规则图形面积问题
课堂小结
测量问题
1.3 勾股定理的应用/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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