资料简介
第3课时
三角形中的几何计算
类型一 有关三角形的面积问题
1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是 ，
AB=1，BC= ，则AC=( )
A.5 B. C.2 D.1
2.在△ABC中，cosA= cosB= BC=5，则△ABC的面积
为 .
3.(2014·西安高二检测)在△ABC中，已知c=2，C=
(1)若△ABC的面积等于 求a，b的值.
(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面积.
【解题指南】1.利用三角形面积公式求得角B，然后结合条
件，利用余弦定理，求得AC.
2.解答本题先求sinC，再利用正弦定理求AC，便可求得三角
形的面积.
3.(1)根据三角形的面积S= absinC及余弦定理列出a，b的方
程组，解此方程组即可.
(2)由条件找出a与b的关系式，并借助余弦定理求a，b，再求
面积.
【自主解答】1.选B.因为S△ABC= acsinB= × ×1×sinB
= ，所以sinB= ，所以B= 或 .当B= 时，经计算△ABC
为等腰直角三角形，不符合题意，舍去.所以B= ，使用余弦
定理，b2=a2+c2-2accosB，解得b= ，故选B.
2.由cosA= 得sinA=
由cosB= 得sinB=
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
由正弦定理得AC=
所以△ABC的面积为
S= ·BC·AC·sinC=
答案：
3.(1)由题意得 即
解得 (负值舍去)
(2)因为sinB=2sinA，所以b=2a， ①
又因为c2=a2+b2-2abcosC，所以4=a2+b2-ab， ②
由①②知 (负值舍去)
所以
【延伸探究】若题2条件变为：BC=2，C= cosB=
试求△ABC的面积.
【解析】由题意cosB= 得sinB=
sinA=sin(π-B-C)=sin( -B)
由正弦定理 得AB=
所以
【规律总结】求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧
(1)若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构
造三角形，转化为求三角形的面积.
(2)若所给图形为平面三角形，则需要运用正、余弦定理求出
某两边及夹角，再利用三角形面积公式S= absinC或S=
bcsinA或S= acsinB进行求解.
【拓展延伸】与圆有关的三角形面积公式
(1)S△ABC= (a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径).
(2)S△ABC= (R为△ABC外接圆半径)
(3)S△ABC=2R2sinAsinBsinC.(R为△ABC外接圆半径)
(4)海伦公式：S△ABC=
其中p= (a+b+c).
类型二 三角形中三角恒等式的证明
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：
2.在△ABC中，已知
(1)求证：tanB=3tanA.
(2)若cosC= 求A的值.
【解题指南】1.此题所证结论包含△ABC的边角关系，因此可
以考虑两种途径进行证明：(1)把角的关系通过正、余弦定理
转化为边的关系，然后进行化简、变形.(2)把边的关系转化为
角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行
恒等变形.
2.(1)注意向量数量积公式的应用，正弦定理的应用(边角转
化).
(2)先利用cosC= 求出tanC，再利用两角和的正切公式构造
与tanA有关的方程.
【自主解答】1.方法一：由正弦定理的推广及余弦定理可知，
右边=
其中R是△ABC外接圆的半径.
所以原等式成立.
方法二：由正弦定理可知，
左边=
所以原等式成立.
2.(1)由
得
即为cbcosA=3cacosB，bcosA=3acosB，
由正弦定理得sinBcosA=3sinAcosB，
两边同除以cosAcosB得tanB=3tanA.
即tanB=3tanA成立.
(2)因cosC= 所以C为锐角，所以tanC=2，
由(1)tanB=3tanA，且A+B+C=π，
得tan[π-(A+C)]=3tanA，
即-tan(A+C)=3tanA⇒ =3tanA，
即 =3tanA，所以tanA=1或tanA=
因tanB=3tanA，由内角和为π知两角均为锐角，
故tanA= 应舍去.所以tanA=1，所以A=
【规律总结】三角形中三角恒等式的证明技巧
(1)证明三角形中的恒等式的关键：利用正弦定理和余弦定理
以及其他公式，对边角关系进行互化.
(2)证明三角形中的恒等式一般思路是：从要证的三角恒等式
一端出发，证明其与另一端相等.也可同时证明两端都等于同
一个式子.
【变式训练】在△ABC中，证明：
【解析】因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，由正弦定
理可得acosC+ccosA=b，
所以
类型三 正弦定理、余弦定理在解三角形问题中的综合应用
1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的
长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acosA，则sinA∶
sinB∶sinC为( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7
C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
2.(2014·湖南高考)如图，在平面四边
形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= .
(1)求cos∠CAD的值.
(2)若cos∠BAD= ，sin∠CBA=
求BC的长.
【解题指南】1.先把边a，c均用b表示出来，再利用余弦定理
化简求值.
2.利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解.
【自主解答】1.选D.由题意知：a=b+1，c=b-1，
所以3b=20acosA=20(b+1)
=20(b+1)
整理得：7b2-27b-40=0，
解之得：b=5(负值舍去)，可知：a=6，c=4.结合正弦定理可知
sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.
2.(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD=
(2)设∠BAC=α，则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD= ，cos∠BAD=
sin∠CAD=
sin∠BAD=
于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=
在△ABC中，由正弦定理得，
故BC=
【规律总结】解三角形问题的类型及其一般思路
(1)已知三角形两角和一边解三角形：先利用三角形内角和定
理求出第三个角，然后可以用正弦定理或余弦定理求另外两边.
(2)已知两边和它们的夹角解三角形：先用余弦定理求第三边，
再用正弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三角.
(3)已知三边解三角形：用余弦定理求各个角；或先用余弦定
理求出一个角(如最大角或最小角)，再用正弦定理求另一个角，
最后用三角形内角和定理求第三个角.
(4)已知两边和其中一边的对角解三角形：先用正弦定理求另
一边的对角，再用三角形内角和定理求第三个角，最后用正弦
定理或余弦定理求第三边；或先用余弦定理求出第三边，再用
正弦定理求其余两个角.
【变式训练】在△ABC中，∠B=45°，AC= cosC=
(1)求BC边的长.
(2)记AB的中点为D，求中线CD的长.
【解析】(1)由cosC= 得sinC=
sinA=sin(180°-45°-C)=
由正弦定理知
(2)AB=
由余弦定理知
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