资料简介
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2.相似三角形的性质
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2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI
知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO
重难聚焦 DIANLI TOUXI
典例透析MUBIAODAOHANG
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1.掌握相似三角形的性质.
2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.
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相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例;
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
都等于相似比;
(3)相似三角形周长的比等于相似比;
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方;
(5)相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比,外接
(内切)圆的面积比等于相似比的平方.
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【做一做1】已知△ABC∽△A'B'C',AB=4,A'B'=3,则BC和B'C'上对
应中线的比等于( )
答案:A
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答案:B
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答案:C
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相似三角形性质和全等三角形性质的比较
剖析:如下表所示.
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题型一 题型二 题型三
【例1】已知△ABC∽△A'B'C',△ABC的周长为60 cm,△A'B'C'的周
长为72 cm,AB=15 cm,B'C'=24 cm,求:
(1)BC,A'B'; (2)AC,A'C'.
分析:先由相似三角形周长的比得到相似比,再利用相似比求解.
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题型一 题型二 题型三
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题型一 题型二 题型三
反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形
对应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比
例式,从而达到求解的目的.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练1】如果两个相似三角形对应边上的中线之比为
3∶4,周长之和是35,那么这两个三角形的周长分别是( )
A.13和22 B.14和21
C.15和20 D.16和19
解析:由相似三角形的周长之比、对应中线之比均等于相似比,
可得两个相似三角形的周长之比
又∵C1+C2=35,
∴C1=15,C2=20,即两个三角形的周长分别为15,20.
答案:C
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题型一 题型二 题型三
分析:由于四边形BCDE是不规则四边形,直接求其面积有困难,因
此可转化为求△ABC与△ADE的面积的差.
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题型一 题型二 题型三
反思有关三角形的面积之比问题,除考虑三角形的相似比外,还要
注意它们是否等高或等底,若是,则可转化为面积之比等于底边比
或相应高之比.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练2】如图,在△ABC中,DE∥BC,S△ADE∶S△ABC=4∶9.求:
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题型一 题型二 题型三
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题型一 题型二 题型三
【例3】如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,教学楼后面
有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”小张心里
很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们之
间的距离为30 m,小张身高为1.6 m.小张要想看到水塔,他与教学楼
之间的距离至少应有多少米?
分析:此题的解法很多,其关键是添加适当的辅助线,构造相似三
角形,利用相似三角形的知识解题.
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题型一 题型二 题型三
解:如图,设小张在点F与教学楼的距离为x m时,正好看到水塔.
连接FD,由题意知,点A在FD上,过F作FG⊥CD于G,交AB于H,则
四边形FEBH、四边形BCGH都是矩形.
∵AB∥CD,∴△AFH∽△DFG.
∴AH∶DG=FH∶FG,
即(20-1.6)∶(30-1.6)=x∶(x+30),
解得x=55.2.
经检验x=55.2是所列方程的根.
故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m,才能看到水塔.
反思此类问题是利用数学模型解决实际问题,关键在于认真分析
题意转化成数学问题,构造相似三角形求解.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练3】为了测量学校操场上旗杆的高度,小明请同学帮
忙,测得同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5 m和3 m,示意
图如图.如果小明身高为1.5 m,那么旗杆的高度为 m.
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题型一 题型二 题型三
解析:根据题意,可得ED=0.5 m,DB=3 m,CD=1.5 m.
根据光线平行的知识可知CE∥AD,
故∠E=∠ADB.
∵AB⊥EB,CD⊥EB,
∴∠CDE=∠ABD=90°.
∴△ABD∽△CDE.
∴旗杆的高度为9 m.
答案:9
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