资料简介
第22章：二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
学习目标
1.理解二次函数的概念，会根据给出的函数解析式判断其是否为二次函数。
2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实
世界中数量关系的一个有效的数学模型。
3.会列出实际问题中的二次函数关系，并能够确定其自变量的取值范围。
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的
值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。
x叫自变量， y叫应变量。
基础回顾 什么叫函数?
二次函数
变
量
之
间
的
关
系
函
数
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数y=kx
(k≠0)
函数知多少
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗
？
抛物线型桥拱
奥运赛场腾空的篮球
y=6x2
情景引入：问题1
二、导入新课
正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y,
则 y 关于x 的关系式为__________.
此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对于x的每一个值,
y都有一个对应值,即y是x的函数.
n
(n－3)
即: d= n2－1
2
3
2 n
1、探究新知： 问题2
多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
n边形有_____个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不
相邻的各顶点,可作_________条对角线.因此,n边形的
对角线总数 d =____________.n(n－3)1
2
此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的关系,
对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
y=20(1+x)2 20(1+x)2
20(1+x)
y=20x2+40x+20即:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上
一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,
y与x之间的关系怎样表示?
这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 _______ 件,再经过一年后的
产量是 ______________件,即两年后的产量为: ________________ .
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每
一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.
y=6x2
y=20x2+40x+20
d= n2－ n1
2
3
2
观察下列函数有什么共同点:
（1）
（2）
（3）
函数都是用自变量的二次式表示的.
一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)的函数,
叫做二次函数.
其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、
一次项系数和常数项.
注意:
整式
a≠0.
2
任意实数
不能没有二次项
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的
(2) a,b,c为常数，且
(3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，
但
(4) 自变量x的取值范围是
1
x
__
x²
1__
(6) y=x²+x³+25
(7)y=2²+2x
(是)
(否)
(是)
(否)
(否)
(是)
(否)
(否)
(9)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）(否)
(5)y=x-2+x (否)
(8) y＝ (否)
(10) y=3(x－1)²-3 (11)y=(x+3)²－x²
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1)y=x+ (2)v= r ²
(3)y= －x (4)s=3－2t²
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1
（3） y=x(1+x)
（2） y=5x2-6
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
1
x
__
x²
1__
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1 (2) y=x+
(3) s=3－2t² (4) y=(x+3)²－x²
(5)y= －x (6) v=8π r²
解:
y=3x2-6x+4 是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
3
-6
4
(2) y=x+ 1
x__ 不是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
-2
0
3
(1) y=3(x-1)²+1
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1
即
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9 不是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
8π
0
0
不是二次函数.(5)y= -x
x²
1__
(6) v=8π r² 是二次函数.
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系区别？
联系
(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得
到的.
区别:
前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0
例2:m 取何值时，函数y= (m+1)xm2-2m-1 +(m-3)x+m 是二次函数？
解：由题意得：解：由题意得：
m2—2m-1=2
m+1 ≠0
∴m=3
五、课堂练习：
例2. y=(m+3)x m2－7
m取什么值时,此函数是二次函数?
1.函数 y=(m+1)xm2-m +mx-1 是二次函数，
求m的值。
xmxm y m y m22
xmxm
（（40-2x 40-2x ））mm
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一
边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自
变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得：Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x (0
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