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14.3.2 公式法 第十四章 整式的乘法与因式分解 第2课时 运用完全平方公式因式分解 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式..(重点) 2.灵活应用各种方法分解因式,并能利用因式分解进行计算.(难点) 导入新课 复习引入 1.因式分解: 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法? 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 用完全平方公式分解因式一 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积 吗? 同学们拼出图形为: a a b b a b a b aba² b²ab 这个大正方形的面积可以怎么求? a2+2ab+b2 (a+b)2 = (a+b)2 a2+2ab+b2= 将上面的等式倒过来看,能得到: aa b aa bb a² ab ab b² a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子: (1)每个多项式有几项? (3)中间项和第一项,第三项有什么关系? (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征? 三项 这两项都是数或式的平方,并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点: 1.必须是三项式(或可以看成三项的); 2.有两个同号的数或式的平方; 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 简记口诀: 首平方,尾平方,首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方 形式,便实现了因式分解. 2a b +b2± =(a ± b)²a2 首2 +尾2±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍,等于这 两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2 a a 2b a + 2b2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²,填空: m m - 33 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式? (1)a2-4a+4; (2)1+4a²; (3)4b2+4b-1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25. 是 (2)因为它只有两项; 不是 (3)4b²与-1的符号不统一; 不是 分析: 不是 是 (4)因为ab不是a与b的积的2倍. 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. 解析:∵16=(±4)2,故-m=2×(±4),m=±8. ±8 典例精析 方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征, 根据参数所 在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出 参数的值.计算过程中,要注意积的2倍的符号,避免漏解. 例2 分解因式: (1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy-4y2. 分析:(1)中, 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个 完全平方式, 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 2ab +b2a2 (2)中首项有负号,一般先利用添 括号法则,将其变形为 -(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分 解因式. 解: (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2; = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 例3 把下列各式分解因式: (1)3ax2+6axy+3ay2 ;(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2; 分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式; (2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式 等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法. 因式分解: (1)-3a2x2+24a2x-48a2; (2)(a2+4)2-16a2. 针对训练 =(a2+4+4a)(a2+4-4a) 解:(1)原式=-3a2(x2-8x+16) =-3a2(x-4)2; (2)原式=(a2+4)2-(4a)2 =(a+2)2(a-2)2. 有公因式要先提公 因式 要检查每一个多项式的因 式,看能否继续分解. 例4 把下列完全平方公式分解因式: (1)1002-2×100×99+99²; (2)342+34×32+162. 解:(1)原式=(100-99)² (2)原式=(34+16)2 本题利用完全平方公式分解 因式,可以简化计算, =1. =2500. 例5 已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值. =112=121. 解:∵x2-4x+y2-10y+29=0, ∴(x-2)2+(y-5)2=0. ∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0, ∴x-2=0,y-5=0, ∴x=2,y=5, ∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2 几个非负数的和为0,则 这几个非负数都为0. 方法总结:此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数 的和的形式,然后利用非负数性质解答问题. 例6 已知a,b,c分别是△ABC三边的长, 且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0, 请判断△ABC的形状,并说明理由. ∴△ABC是等边三角形. 解:由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,得 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0, 即(a-b)2+(b-c)2=0, ∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c, 当堂练习 1.下列四个多项式中,能因式分解的是( ) A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y 2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是( ) A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2 C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2) 3.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是________. B B 1 4.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式,则m的值为___________ . ±4 5.把下列多项式因式分解. (1)x2-12x+36; (2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1-x2; (2)原式=[2(2a+b)]² - 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b - 1)2; 解:(1)原式 =x2-2·x·6+(6)2 =(x-6)2; (3)原式=(y+1)² -x² =(y+1+x)(y+1-x). (2)原式 6.计算:(1)38.92-2×38.9×48.9+48.92. 解:(1)原式=(38.9-48.9)2 =100. 7.分解因式:(1)4x2+4x+1;(2) 小聪和小明的解答过程如下: 他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来. x2-2x+3. (2)原式= (x2-6x+9)= (x-3)2 解:(1)原式=(2x)2+2•2x•1+1=(2x+1)2 小聪: 小明: × × 8.(1)已知a-b=3,求a(a-2b)+b2的值; (2)已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值. 原式=2×52=50. 解:(1)原式=a2-2ab+b2=(a-b)2. 当a-b=3时,原式=32=9. (2)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.  当ab=2,a+b=5时, 课堂小结 完全平方公式 分 解 因 式 公 式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特 点 (1)要求多项式有三项. (2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的 平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符 号可正可负. 查看更多

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