资料简介
14.2.2 完全平方公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、
几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加因需要将其边长增加 bb 米米..
形成四块实验田，以种植不同的新品种形成四块实验田，以种植不同的新品种((如图如图). ). 用不同的形用不同的形
式表示实验田的总面积式表示实验田的总面积, , 并进行比较并进行比较. .
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
aa
aa
bb
bb
讲授新课
完全平方公式一
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .m2-4m+4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .a2+2ab+b2
（a-b)2= .a2-2ab+b2
合作探究
知识要点
完全平方公式
（a+b)2= .a2+2ab+b2
（a-b)2= .a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上
（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
问题3 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
b
a
a b
b
a
b
a
图 1 图2
几何解释:
aa
aa
bb
bb
= ++ +
a2 ab ab b2
（a+b)2= .a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
aa22 −−aabb −−bb((aa−−bb)) == aa22−2−2aabb++bb2 2 ..==((aa−−bb))22
aa−−bb
aa−−bb
aa
aa
aabb
bb((aa−−bb))
bb
bb
((aa−−bb))22
几何解释:
（a-b)2= .a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,
b有什么关系？它的符号与什么有关？
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 --2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+44xy +y2
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
((aa + +bb))22= = aa22 + 2 + 2 ab ab + + bb22
(4m)2 +2•(4m) •n +n2
+8mn +n2；
((aa - - bb))2 2 = = aa22 -- 2 2 abab + + bb22
y2
=y2 -y +
解： = + -2•y•
(2)
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
针对训练
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(1) 1022；
解： 1022 = (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992 = (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的
特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
针对训练
＝(2016－2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16=20；
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
添括号法则二
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号
把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前
面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
知识要点
添括号法则
例5 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解: (1)
典例精析
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法
是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中
两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
针对训练
＝1－4x2＋4xy－y2.
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]
＝12－(－2x＋y)2
当堂练习
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ ）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4)(-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法
计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________． 25
5.计算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②得 4xy=48
∴xy=12.
课堂小结
完全平方公式
法 则
注 意
((a±ba±b))22= = aa22 ±±22ab+bab+b22
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能
需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常 用
结 论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从
公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
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