资料简介
13.4 课题学习 最短路径问题
第十三章 轴对称
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？
为什么？ P
lA B C D
PC最短，因为垂线段最短
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
讲授新课
牧人饮马问题一
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有
线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学
史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
A B
①
②
③
P
lA B C D
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的
什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成 A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，
使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这
个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连
接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质可知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个
水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的
管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
lAM
P
Q
lB M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边
的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（
）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
典例精析
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵
点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即
可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而
后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求
解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1
，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，
C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的
坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′
，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标
可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角
形即可．
A
B′
C′
E
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固
定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其
与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长
最小时动点的位置.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A
到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
AA
B
N
M
造桥选址问题二
B
A●
●
?N
M
N
M
N
M
折 移
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN
，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图
形变换能帮助我们呢？
思维火花
各抒己见
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
Ｍ
Ｎ
A'
B'
1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度
有没有改变呢？
B
A
Ｍ
Ｎ
问题解决
B
A
A1 M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B
交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最
短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，
而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
A·
B
M
N
E
C
D
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所
以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
方法归纳
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为
已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于
直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（
）
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
A
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=
10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周
长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
A
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD
，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到
河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D 河
1000
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、
B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小
时，在图中画出点P．
x
y
O
B
A
B'
P
5.如图，襄阳古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经
两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北
方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸
相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是
AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E E′
B
F
G
D
课堂小结
原 理 线段公理和垂线段最短
牧马人饮马
问 题 解题方法
造 桥 选 址
问 题
关键是将固定线段“桥”平移
最 短 路
径 问 题 轴对称知识+线段公理
解题方法
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