资料简介
13.3.2 等边三角形
第十三章 轴对称
第1课时 等边三角形的性质与判定
学习目标
1．探索等边三角形的性质和判定．（重点）
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明．（难点）
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，
10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
问题引入
导入新课
等腰三角形 等边三角形一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角
形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
名称
图 形 定 义 性 质 判 定
等
腰
三
角
形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等两腰相等
轴对称图形
A
B C
有两条边相等的三
角形叫做等腰三角
形
等边三角形的性质一
讲授新课
类比探究
A
B C
A
B C
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为
180°
=60°
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角等边对等角))
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B C
•问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几
条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一
”.
顶角的平分线、底
边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
A
B C
三条对称轴
图形 等腰三角形
性
质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的
平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互
相重合
且都是60º
两条边相等 三条边都相等
知识要点
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上
一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数
．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
典例精析
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这
个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、
三角形的内角和与外角的性质.
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得
CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N
是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，
∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一
般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及
等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
类比探究
等边三角形的判定二
图形 等腰三角形
判
定
三个角都相等的三角形是等边三
角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰
三角形
从边看：两条边相等的三角形是
等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三
角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”
，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1） （2）
（6）（5）
不
是 是
是
是
是
（4）
（3）
不一
定
是
例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
CB
D E
典例精析
证明： ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D E
B C
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形．
A
DE
B C
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,
△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
A
CB
D E
证明： ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例4 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且
∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？
试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角
形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是
等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
针对训练： 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一
点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
当堂练习
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个
图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
CB
D EO
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
B
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是
（ ）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已
知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE
的周长是 cm.
A
CB
D E12
B
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在
△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD
于F．求证△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，
求∠AEB的大小.
解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等
边三角形.
∴AO=BO,CO=DO,
∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°
∴ △COA≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
C B
OD A
E
F
7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是
等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的
形状，并证明你的结论．
拓展提升：
图① 图②
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
图①
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
图②
课堂小结
等 边
三 角 形
定 义 底=腰特殊性
性 质
特殊性
边 三边相等
角 三个角都等于60 °
轴对称性 轴对称图形，每条边上都
具有“三线合一”性质
判 定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
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