资料简介
小结与复习
第十二章 全等三角形
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的
两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边，
要点梳理
一、全等三角形的性质
B C E F
其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点.
AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边.
∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角.
A D
点D 点E 点F
DE EF DF
∠D ∠E ∠F
A
B C
D
E F
性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如图：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
（ ），
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
（ ）.
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
应用格式：
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF.（SAS）
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“
边角边”或“SAS”).
F
E
D
C
B
A
AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
二、三角形全等的判定方法
∠A=∠D ，（已知 ）
AB=DE，（已知 ）
∠B=∠E，（已知 ）
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF.（ASA）
2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成
“角边角”或“ASA”）.
用符号语言表达为：
F
E
D
C
B
A
3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或
“SSS”）. A
B C
D
E F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS）
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
用符号语言表达为：
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.
A
BC
D
EF
注意：①对应相等.
②“HL”仅适用直角三角形,
③书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中，
AB =DE，
AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
三、 角平分线的性质与判定
考点一 全等三角形的性质
考点讲练
例1 如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
解：（1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC=BD，则AB=DC，
∵BC=2，∴2AB+2=8，
∴AB=3，∴AC=3+2=5；
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴∠ECA=∠FBD，
∴CE∥BF．
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角
与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一
对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一
定是对应角.
方法总结
1.如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．
（1）求∠B；
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
针对训练
解：（1）∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C，
又∵∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°；
（2）AD⊥BC．
理由：∵△ABD≌△ACD，
∴∠BDA=∠CDA，
∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AD⊥BC．
例2 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明： 在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B C
A D
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定
．
考点二 全等三角形的判定
2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的
是( )
A.AB=DE,AC=DF,BC=EF
B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF
C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D
D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
D
针对训练
3.如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加条件
， 所以 △AOC≌△BOD 理由是 .
A
O
D
C B
∠C=∠D 或∠AOC=∠BOD
AAS 或ASA
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点
E,EF∥BC交AC于点F,
求证：∠DEC=∠FEC.
A
B CD
FE G【分析】 欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG.
A
B CD
FE G
证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC，
AG=AG，
∠EAG=∠CAG，
∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)，
∴ GE =GC.
∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAG=∠CAG，.
A
B CD
FE G
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，
∠ EGD= ∠ CGD=90 °，
DG=DG.
∴ △DGE ≌ △DGC(SAS).
∴ ∠DEG = ∠ DCG.
∵EF//BC,
∴ ∠FEC= ∠ECD，
∴ ∠DEG = ∠ FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，
看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，
如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
4.如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC，
∠BAO =∠CAO吗？为什么？
O
C
B
A
解： ∠BAO=∠CAO，
理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC，
∴ ∠B=∠C=90°.
在Rt△ABO和Rt△ACO中，
OB=OC，AO=AO，
∴ Rt△ABO≌Rt△ACO ，（HL）
∴ ∠BAO=∠CAO.
针对训练
考点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面
垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的
距离相等吗？
A
B CD
【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题
就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，
AD⊥BC.
A
B CD
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AD=AD，
AB=AC，
∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL).
∴BD=CD.
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因
素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
方法总结
针对训练
5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不
能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间
的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D
，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直
线上，
∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，
∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴DE=BA．
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
C D
E
考点五 角平分线的性质与判定
例5 如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °，
求证:PA=PC.
【分析】由角平分线的性质易想到过点P向
∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分
线的基本图形.
B
A
C
N
))
1
2
P
E
F
【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °.
∴ ∠EAP=∠PCB.
在△APE和△CPF中，
∠PEA=∠PFC=90 °，
∠EAP=∠FCP，
PE=PF，
∴ △APE ≌ △CPF(AAS)，
∴ AP=CP.
B
A
C
N
))
1
2
P
E
F
【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在
的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,
连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即
可获证.
证明过程请同学们自行完成！
【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依
托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分
线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.
A
C
N
))
1
2
P
B D
6.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求证:∠PCB+
∠BAP=180 °.
B
A
C
N
) )
1
2
P
E
F
【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
PA=PC，
PE=PF，
在Rt△APE和Rt△CPF中，
∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(HL).
针对训练
∴ ∠ EAP= ∠ FCP.
∵ ∠BAP+∠EAP=180 °，
∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °.
想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有
怎样的数量关系呢？
B
A
C
N
) )
1
2
P
E
F
全 等
三 角 形
性 质 基 本 性 质 和 其 他 重 要 性 质
判 定 判定方法基本
思 路
作 用 是证明两条线段相等和角相
等 的 常 用 方 法
寻找现有条件（包括图中
隐 含 条 件 ）
选定判定方法证明准备条
件
角 的 平 分 线
的 性 质 定 理
角 的 平 分 线
的 判 定 定 理
证 明 两 条 线 段 相 等
证 明 角 相 等
辅 助 线
添 加 方 法
课堂小结
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