资料简介
12.3 角的平分线的性质
第十二章 全等三角形
第2课时 角平分线的判定
学习目标
1.理解角平分线判定定理.(难点）
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
导入新课
复习回顾
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.叙述角平分线的性质定理
不必再证全等
O
D
P
A
C
BE
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角
的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
角平分线的判定一
P
A
O B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这
个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
几何语言：
猜想:
思考：这个结论正
确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明： 作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边）
PD= PE（已知 ）
B
AD
O P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识总结
典例精析
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰
20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，
一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要
求取点.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线二
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每
组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结
论吗？
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂
直于AB，BC，CA，垂足分别为D，
E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
P
N
M
C C
B
N
M P
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离
相等.
D
E
F
A
B
P
N
M
C
变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分
∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,
若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
M
E
N
A
B
C
PO
D
解：连接OC
变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分
∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,
若OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
M
E
N
A
B
C
PO
D
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
知识与方法
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到
△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数
为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝ ∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角
形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
方法总结
归纳总结
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、
OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB
的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O B
M
N
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC
于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，
判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B CE FD
( (
( (
3 4
1 2
P
3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，
点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD
， FM⊥BC，
∴FM＝FH， ∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A B
C
F
E
D
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物
中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画
出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2l3
课堂小结
角平分线
的判定定理
内 容 角的内部到角两边距离相等的点在这
个角的平分线上
作 用 判断一个点是否在角的平分线上
结 论 三角形的角平分线相交于内部一点
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