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“负负得正”的乘法法则可以证明吗
关于“负负得正”的乘法法则，是否可以通过证明来确认这条法则呢？这个
问题历来被老师们关注，有关专家对此也有各种看法，现将一篇文章转摘如下，
供老师们参考(田载今，中学数学教学参考，2005 年第 3 期)。
有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条，“两个负有理数相乘，结果（积）
是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如，（－2）×（－
3）=＋6。
这条法则对刚学它的人来说，不是很容易理解，多数人是把它硬记下来的.
记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理，就去向老师
请教，老师说：“你记住就行了.”
编写教材时，大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问
题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意
义解释……
教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑：是否可以
通过证明来确认这条法则呢？教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢？
一种意见认为，“负负得正”有着丰富的实际背景，实践是检验真理的标准，
这些实际背景对这一 法则的证明.例如，考虑这样的问题：如果水位一 直以每小
时 2 厘米的速度下降，现在水位在水文标尺刻度的 A 处，3 小时前水位在水文标
尺的刻度在何处？为区分水位变化方向，我们规定水位上升为正，下降为负；显
然 3 小时前水位在水文标尺刻度的 A 处上方 6cm 处，这可以表示为（－2）×（－
3）=＋6.在许多情况下，都能找到类似这样的“负负得正”的原型，因此，“负
负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.
上面的意见中，以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.
数学中的证明不是个例的验证，数学不是物理、化学、生物那样的实验科学，它
的命题具有一般性，不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明，而需要依据
已有的结论（定义、公理和定理等）经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中
的原型，只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后，即经过数学化、抽象
化之后，才具有了“负负得正”的意义，它们只能说明“负负得正”有 实际背
景，或作为应用“负负得正”法则的例子，而不能作为逻辑地推导这个法则的根
据.
另一种意见认为，可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则，具体推导
过程如下：
有了有理数的加法法则以及“正正得正”，“正负得正”的乘法法则之后，由
分配律，有
（－1）×（－1）=（－1）×（1－2）
=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）=－1＋2=1 .
进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如，
（－2）×（－3）=（－1）×2×（－1）×3=（－1）×（－1）×2×3 =
［（－1）×（－1）］×（2×3）=1×6=6.
于是,得出“负负得正”这一法则.
笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了
（－1）×（1－2）=（－1）×1-（－1）×2. （1）
当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而
尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.
在这时,我们可以确信（－1）×（2－1）=（－1）×2－（－1）×1.⑵
这是因为⑵的左边为 （－1）×（2－1）=（－1）×1=－1.
⑵的右边为 （－1）×2－（－1）×1= -2-(-1)=-2+1=-1.
所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出⑴成
立,因为⑴的左边为 （－1）×（1－2）=（－1）×（－1），而（－1）×（－1）
的法则此时尚未成立,所以无法确定⑴的左边是否等于右边,即此时分配律等于
（－1）×（1－2）是否适用尚且存疑。先确定运算法则,后才能确定那些运算律
成立,是合乎逻辑顺序的做法.这就是说,只有当（－1）×（－1）的结果确定后,
才能明确(1)成立.因此,像上面那样用分配律推导“负负得正”的法则有循环论
证之嫌.
还有一种意见认为,如果在确立了通常的有理数加法法则后,把有理数的乘法
定义为一种抽象的运算(即先不规定具体的乘法运算法则),并从抽象代数角度约
定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的具体的有
理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.
笔者认为，事实上并非如此，请看下面反例.
我们这样规定有理数的乘法“ ”:对于任意两个有理数 a 、b 它们的“乘
积”a b=－ab 即这样“乘积”等于通常乘法的乘积的相反数.
可以验证，－1 是这种“乘法”的单位元，对任意非零有理数 x，他的逆元
是－ ，并且 (a b) c=a (b c)（结合律）； a b=b a（交换律）；
a (b＋c）=a b＋a c（分配律）在有理数结合内都成立.因此，有理数集
合 Q 连同通常意义的有理数加法“＋”、如上定义的有理数的乘法“ ”，满足抽
象代数中域的定义，即｛Q，＋， ｝是一个域.但是，这个“乘法”法则不是
“负负得正”，而是“负负得负.”
上述反例证明，在确立了有理数通常的加法法则，并约定有理数集合连同加
法、乘法运算构成一个域的条件下，并不能一定得出“负负得正”的乘法法则.
第四种意见证明，如果先确立通常的有理数的加法法则以及两个非负有理数
的乘法（及算术中的乘法）法则，然后再把含有负因数的有理数乘法定义为一种
抽象的运算，并把这种抽象的乘法运算连同算术中的乘法合起来作为整个有理数
的乘法法则，并且约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推
导出通常的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.具体推导过程如下：
由于约定了有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，根据分配律
（－1）×1=（1－2）×1=1×1－2×1=1－2=－1，（－1）×2=（－1）×（1＋1）
=（－1）×1＋（－1）×1=－1＋（－1）=－2，
（－1）×（－1）=（－1）×（1－2）=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）
=－1＋2=1，
因此，（－1）×（－1）=1。在此基础上，由交换律和结合律可以推出任何
两个负数相乘的法则，即两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝
对值等于相乘两数的绝对值的乘积.
这种意见中，作为推理依据除了确定加法法则及部分乘法法则外，还有“有
理数集合连同加法、乘法运算构成一个域”这个重要的约定，然而，在乘法法则
尚未确定之前，就做出这个约定在逻辑上是否合适呢？
应先完全确定有理数的加法和乘法的具体法则，才能根据域的定义判断｛Q，
＋，X｝是一个域，这是一种合乎逻辑的推理顺序.而像上面那样先约定｛Q，＋，
⊗
⊗
x1 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
⊗
X｝是一个域，再由约定去确定乘法法则的过程，恰与正常的推理顺序相反.这样
进行本未倒置的分析，目的在于说明确定乘法法则的一种意图，即使新确定适用
于 Q 的乘法法则与已有的算术中的乘法法则不矛盾，并且能使｛Q，＋，X｝是一
个域.这样的分析只能说明确定有理数乘法法则的思想背景，而不能认为是合乎
逻辑地导出了有理数的乘法法则.
代数中类似上面那样说明某种规定的背景的例子有许多，例如下面的对规定
a0=1(a≠0)的解释.
我们已知，同底数幂除法法则，即 am÷an=am-n(a≠0,m、n∈N+，m>n)。如果
这一法则在 a≠0,m、n N+，m=n 时也适用，则有 am÷am=am-m=a0 另一方面，显然
有 am÷am=1。于是，规定 a0=1(a≠0).
这里的“这一法则在 a≠0,m、n∈N+，m=n 时也适用”事先缺乏根据，而只
是一种假设，借以作为后面如何具体定义 0 指数幂的背景.因为“这一法则在 a≠
0,m、n∈N+，m=n 时也适用”这个前提条件，在未定义 0 指数幂前还未落实，所
以不能认为由这个空中楼阁可以推导 a0=1(a≠0)，否则就犯了推理理由不真实和
循环论证的逻辑错误.这个问题与前面第四种意见的做法是类似的，类比他们可
以帮助我们认识到第四种意见的做法并非证明.
综上所述，“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通
过逻辑证明得出.然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景，又有数
学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些材料，可以帮助学生认
识乘法法则的由来和合理性，但是不能将这样做误认为证明这个法则.
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