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§3.4  生活中的优化问题举例 第三章 导数及其应用1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 学习 目标栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题 通常称为优化问题. 知识点二 利用导数解决生活中优化问题的基本思路知识点三 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系,根据实际问题建立数学模型, 写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x); (2)求导函数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大者为最大值, 最小者为最小值; (4)依据实际问题的意义给出答案. 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 用料最省问题 例1 如图,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与 甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40千米的B处,乙厂到河岸的垂足D与A 相距50千米,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂 的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省? 反思与感悟解 如题图,由题意知,只有点C位于线段AD上某一适当位置时, 才能使总费用最省, 又设总的水管费用为y元, 在(0,50)上,y只有一个极值点, 根据问题的实际意义,函数在x=30 km处取得最小值, 此时|AC|=50-x=20 (km). ∴供水站C建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省. 令y′=0,解得x=30. 反思与感悟反思与感悟 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变 量的意义以及最值问题所研究的对象,正确书写函数表达式,准确求导, 结合实际作答.解析答案 跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8 m2, 问:x,y分别是多少时用料最省?(精确到0.001 m) 即当x为2.343 m,y为2.828 m时,用料最省.解析答案 题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽 度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小? 反思与感悟解析答案 解 设广告的高和宽分别为x cm,y cm, 反思与感悟令S′>0得x>140, 令S′ 查看更多

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