资料简介
二 一般形式的柯西不等式
【自主预习】
1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a1
2+a2
2+a3
2)(b1
2+b2
2+
b3
2)≥_______________,当且仅当_____________或存
在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.
(a1b1+a2b2+a3b3)2 bi=0(i=1,2,3)
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
则(a1
2+a2
2+…+an
2)(b1
2+b2
2+…+bn
2)
≥__________________,当且仅当________________
或存在一个数k,使得ai=___(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2 bi=0(i=1,2,…,n)
kbi
【即时小测】
1.若a1
2+a2
2+a3
2=4,b1
2+b2
2+b3
2=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最
大值为 ( )
A.4 B.6 C.9 D.3
【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2
≤(a1
2+a2
2+a3
2)(b1
2+b2
2+b3
2)=36，所以-6≤a1b1+a2b2
+ a3b3≤6.
2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式
x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为 ( )
A.6 B. C.8 D.
【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得
(x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有
x+2y+3z≤ ,当且仅当 时,取等号.
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立,可得a≥
3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为
_________.
【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2,
所以a2+4b2+9c2≥12.
答案:12
【知识探究】
探究点 一般形式的柯西不等式
1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
可以吗?
提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分
式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.
2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为
ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?
提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.
【归纳总结】
1.对柯西不等式一般形式的说明
一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维
形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形
式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积
的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式
的结构形式.
2.等号成立的条件
ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即: = =…=
或b1=b2=…=bn=0.
3.柯西不等式的两个变式
(1)设ai∈R,bi>0(i=1,2,…,n), ,
当且仅当bi=λai时等号成立.
(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则
≥ ,当且仅当bi=λai时,等号成立.
类型一 利用柯西不等式证明不等式
【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:
【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用
柯西不等式?
提示:9=(1+1+1)2.
【证明】左边=[2(a+b+c)]· =
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· ≥
(1+1+1)2=9.
当且仅当a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.
【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技
巧
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排
各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子
的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.
【变式训练】
1.已知a,b,c∈R+,求证:
【证明】由柯西不等式知
所以原不等式成立.
2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证:
【证明】左边=
=[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×
【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥
ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)
【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)
≥(ab+bc+cd+da)2,
所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.
类型二 利用柯西不等式求最值
【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.
求 的最小值.
【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式
子的分母有关的形式?
提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
【解析】因为a+2b+4c=3,所以
(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
因为a,b,c为正数,
所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·
当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.
故 的最小值为 .
【延伸探究】
1.本例 取得最小值时a,b,c的值是
什么?
【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及
(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10得2(c+1)+2 (c+1)
+4(c+1)=10,
所以
2.若本例条件不变,改为求
的最大值.
【解析】由柯西不等式得
当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= ,c= 时等号
成立,
所以 的最大值为3 .
【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧
利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数
的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧
拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式
的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条
件.
【变式训练】1.设a,b,c为正数,a+2b+3c=13,则
的最大值为 ( )
【解析】选C.根据柯西不等式,
2.(2015·福建高考)已知a>0,b>0,c>0,函数
f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值.
(2)求 a2+ b2+c2的最小值.
【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求
解.
【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|x－b|+c≥|(x+a)－
(x－b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c,
又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.
(2)由(1)知a+b+c=4,
由柯西不等式得 (4+9+1)
≥ =(a+b+c)2=16,
即 a2+ b2+c2≥ ,
当且仅当 ,
即 时等号成立,
故 a2+ b2+c2的最小值为 .
自我纠错 求代数式的值
【典例】设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,
x+2y+3z= ,则x+y+z=_________.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立
的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是
正确解答过程如下:
【解析】由柯西不等式可知:
(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),
当且仅当 时取等号,
此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x= ,
所以x= ,y= ,
z= ,
所以x+y+z= = .
答案:
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