资料简介
二 综合法与分析法
【自主预习】
1.综合法
一般地,从_________出发,利用定义、公理、定理、
性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这
种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因
导果法.
已知条件
2.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立
的_________,直至所需条件为_____________________
_________(定义、公理或已证明的定理、性质等),从
而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这
是一种_________的思考和证明方法.
要证的结论
充分条件 已知条件或一个明显成
立的事实
执果索因
【即时小测】
1.关于综合法和分析法说法错误的是 ( )
A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B.综合法又叫顺推证法或由因导果法
C.分析法又叫逆推证法或执果索因法
D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导
果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索
因法,是逆推证法.
2.下列对命题“函数f(x)=x+ 是奇函数”的证明不
是综合法的是 ( )
A.∀x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+ =-f(x),
所以f(x)是奇函数
B.∀x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+
所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数
C.∀x∈R且x≠0,因为f(x)≠0,所以
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数
D.取x=-1,f(-1)=-1+ =-2,又f(1)=1+ =2,f(-1)
=-f(1),所以f(x)是奇函数
【解析】选D.A,B,C都是从已知条件出发,利用奇函数
定义,得出结论的,都是综合法;D不是综合法证明.
3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证 ( )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1- ≤0
C. -1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)
=-(a2-1)(b2-1),
故要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0.
【知识探究】
探究点 综合法与分析法
1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的?
提示:综合法:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).
分析法:B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A
(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).
2.如何理解分析法寻找的是充分条件?
提示:用分析法证明,其叙述格式是:要证明A,只需证明
B.即说明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“
执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体
现了数学中“正难则反”的原则,也是思维中的逆向思维.
逆求(不是逆推)结论成立的充分条件.
【归纳总结】
1.综合法和分析法的比较
(1)相同点:都是直接证明.
(2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;
分析法:执果索因,利于思考,易于探索.
2.证明不等式的通常做法
常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程.
类型一 用综合法证明不等式
【典例】(2016·大连高二检测)已知a,b,c均为正实
数,且
(1)证明:
(2)求证:
【解题探究】要证明该题,根据题目的形式,你联想到
利用哪个公式解决?
提示:根据题目给出的形式,可根据基本不等式求证.
【证明】(1)由a,b,c均为正实数,且
可得
相加可得
即有
当且仅当a=b=c= 取得等号.
故原不等式成立.
(2)由a,b,c均为正实数,且
可得
相加可得
即有原不等式成立.
【方法技巧】综合法证明不等式的策略
(1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果
联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右
两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知
不等式,这是证明的关键.
(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下
几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有
a2+b2≥2ab, ≥ab,a2+b2≥ (a+b)2;③若a,b
为正实数,则 特别 ≥2;④a2+b2+c2≥
ab+bc+ca.
(3)在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性
质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用
这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
【变式训练】(2015·绥化高二检测)已知a,b都是正数,
且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
【证明】因为a≠b,所以a-b≠0,所以a2-2ab+b2>0,
所以a2-ab+b2>ab.
而a,b均为正数,所以a+b>0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
所以a3+b3>a2b+ab2成立.
【补偿训练】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,
求证:
【证明】因为a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,
所以
所以
类型二 用分析法证明不等式
【典例】1.(2016·聊城高二检测)已知a,b,m都是
正数,并且ab>c,且a+b+c=0,求证:
(1)b2-ac>0.(2)
【解题探究】1.典例1用分析法证明的关键是什么?
提示:a,b,m都是正数,要证 成立,只需证明
b(a+m)>a(b+m)成立,所以关键是证明b(a+m)>a(b+m)
成立.
2.典例2(2)中证明的关键是什么?
提示:证明的关键是对式子两端平方后,能得到显然成
立的条件.
【证明】1.a,b,m都是正数,
要证 成立,只需证b(a+m)>a(b+m)成立,
即证ba+bm>ab+am,即证bm>am,即证b>a,
而ab>c且a+b+c=0,
所以a>0,cb>c,
所以(a-b)(a-c)>0成立,
从而 成立.
【延伸探究】
1.若将典例2中条件改为“a>b>0”,求证:
【证明】要证原不等式成立,
只需证
即证
因为a>b>0,所以只需证
即
只需证
因为a>b>0,所以 成立.所以原不等式成立.
2.典例2条件改为设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证
明:ab+bc+ac≤ .
【证明】由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤ .
【方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点
(1)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的
不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,
直至找到已知不等式为止.
(2)注意点:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用
好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.
【变式训练】
1.当x≥4时,证明:
【证明】欲证
只需证
即证
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只需证(x-1)(x-4)
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