天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 九年级上册 / 第二十一章 一元二次方程 / 21.1 一元二次方程 / 人教版九年级数学上册第21章 一元二次方程 教学课件.ppt
资料简介
人教新版九年级数学上册教学课件
21.1 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
人教新版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各
项系数.
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型
.（重、难点）
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问
题.(重点）
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情景引入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉
献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多
处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗
？
导入新课
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设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以
上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部
AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所
示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得
整理得 x
2 + 2x - 4 = 0．①
x
2 = 2(2 - x )，
导入新课
想一想，上述方程与以往我们学过
的方程有什么联系和区别？ x m
(2 - x ) m
等量关系：AC：BC=BC：AB
即BC2=2AC
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问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四
角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，
就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为
3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
3600cm2
一元二次方程的概念一
解：设切去的正方形的边长为
xcm，
则盒底的长为(100－2x)cm，
宽为(50－2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得 ②
该方程中未
知数的个数
和最高次数
各是多少？
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问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都
要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安
排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少
个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
化简，得： 该方程中未知数
的个数和最高次
数各是多少？
③
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观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三
个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共
同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②都只含一个未知数;
③未知数的最高次数都是2.
x2-75x＋350=0 ②
x2 + 2x - 4 = 0 ①
x2-x-56=0 ③
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等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一
元二次方程.
知识要点
一元二次方程的概念
ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数.
bx 称为一次项， b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
一元二次方程的一般形式是
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视频：一元二次方程一般式
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想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？
当 a = 0 时 bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
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典例精析
例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（
）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
化简整理成
12x+10=0
提示 判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方
程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中
是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
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判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
×
× ×
×
×
×
(1) x2+ x=36
注意：未限定a≠0
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例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2； (2) (a－1)x|a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0
，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方
程；
(2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程
是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：
根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的
方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
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变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；
（2）当a=2 且b ≠0时，是一元一次方程．
方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次
方程未知数最高次数是2.
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例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形
式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数
项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项
是-10.
系数和项均包含前面的符号.注意
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一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别
与联系？
ax=b (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
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一元二次方程的根二
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
做一元二次方程的解（又叫做根）.
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
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例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个
根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
9+4a=0,
4a=-9,
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程
的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方
程，求解即可得到字母的值.
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变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观
察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的
一部分看作一个整体，代入求值．
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问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三
条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横
向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成
小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的
宽应为多少？
32
2
0
x
建立一元二次方程模型三
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1.若设小路的宽是xm，则横向
小路的面积是______m2，纵向
小路的面积是 m2,两
者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出
方程吗？
整理以上方程可得
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
32
2
0
x
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想一想：
还有其他的方法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570 32-2x
2
0
-
x
32
2
0
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审
建立一元二次方程模型的一般步骤
设 找 列
审题，弄
清已知量
与未知量
之间的关
系
设未知数 找出等量
关系
根据等量
关系列方
程
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1. 下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
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2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
01 3
13
-54 0
-53 -2
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3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2(k－1)x＋2k＋ 2＝0
，
当k 时，是一元二次方程．
当k 时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
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4.（1）已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值
为___________;
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不
为零不容忽视
解：将x=0代入方程得m2-4=0，
解得m=±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
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5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的
方程（其中π取3）；
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得 200cm
1
50cm
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(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量
为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥
有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的
年平均增长率为x，
整理，得
根据题意，得
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拓广探索
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的
一个根为1， 求a+b+c的值.
解：由题意得
思考：1.若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是x=1.
2. 若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根吗? x=-1 x=2
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一 元 二
次 方 程
概 念
① 是整式方程；
② 只含一个未知数；
③ 未知数的最高次数是2.
一般形
式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次
方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的
未知数的值.
建立一元二
次方程模型 审→设→找→列
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21.2.1 配方法
第二十一章 一元二次方程
第1课时 直接开平方法
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学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.
(重点）
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情景引入
古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。
某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形
似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营
地长4里”。
思考：将军是怎么知
道敌方营地长的？
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1.如果 x2=a，则x叫做a的 .
复习引入
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0)，则x= .
3.如果 x2=64，则x= .±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
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直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程一
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这
桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全
部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设一个盒子的棱长为x dm，则一
个正方体的表面积为6x2dm2，可列出
方程 10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
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试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解：根据平方根的意义，得
x1=2，x2=-2.
解：根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解：移项，得x2=-1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
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(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0;
(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程
的根的方法叫直接开平方法.
归纳
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例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2=6； (2) x2－900=0.
解：(1) x2=6，
直接开平方，得
(2)移项，得 x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30，x2=－30.
典例精析
方法点拨：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直
接开平方即可求解．
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在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：
(x+3)2=5 ， ②
得
对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？
探究交流
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程二
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上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元
一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方
程了.
解题归纳
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例2 解下列方程：
（1）(x＋1)2= 2 ；
解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，
就可以运用直接开平方法求解.
即x1=-1+ ，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
典例精析
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解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1
小题一样地解.
（2）(x－1)2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得(x-1)2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
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∴ x1= ， x2=
（3）12(3－2x)2－3 = 0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再将等
式两边同时除以12，再同第1小题一样地去解.
解：（3）移项，得12(3-2x)2=3，
两边都除以12，得(3-2x)2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5，3-2x=-0.5
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解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例3 解下列方程：
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1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2= p(p≥0)
的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求
解吗？请举例说明.
探讨交流
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C. 4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)= ±3，x1= ， x2=
D. (2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5， x1= 1，x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. x2=-2，解方程，得x=±
B. (x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是
.
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .
x1=0.5，x2=-0.5
x1＝3，x2＝-3
x1＝2，x2＝－1
2.2.填空填空::
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3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； (2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4 .
解：x1＝9，x2＝－9
；
解：x1＝5， x2＝－5
；
解：x1＝1，x2＝－3.
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4.(请你当小老师)下面是李昆同学解答的一道一元二
次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，
指出具体位置并帮他改正.
① ②
③ ④
解：
解：不对，从②开始错，应改为
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解方程：
挑战自我
解：
方程的两根为
或
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直
接
开
平
方
法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
(x+n)2=p (p ≥0).
一 元
二 次
方 程
两个一元
一次方程
降次
直接开平方法
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21.2.1 配方法
第二十一章 一元二次方程
第2课时 配方法
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学习目标
1.理解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
(重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
（难点）
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复习引入
(1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
1.用直接开平方法解下列方程.
2.你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a2+2ab+b2=( )2
；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
解： 解：
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3.3.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗??
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+4x+1=0.
转化成
(x+2)2
=9的形
式，再
利用开
平方
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用配方法解方程一
探究交流
解：方程变形为(x+3)2=5
，
试一试试一试 解方程：解方程： x2+6x+9 =5.
开平方，得
解得
将方程左边因式分解，
配成完全平方式
用开平方法解方程
如何配方呢
？
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填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律？
22 2
32 3
42 4
填一填
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二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
填一填：
x2+px+( )2=(x+ )2
配方的方法
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想一想 怎样解方程: x2+4x+1=0 (1)
问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
解： x2+4x+1=0
x2+4x=-1
移项
x2+4x+4=-1+4
两边都加上4
为什么在方程x2+4x=-1
的两边加上4？加其他
的数，行吗？
( x+2)2=3
左边写成完全平方形式
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要点归纳
像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二
次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程
降次，转化为一元一次方程求解．
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例1 解下列方程：
分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，
然后用配方法解方程.
(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.
典例精析
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解：移项，得 x2－8x=－1，
配方，得 x2－8x+42=－1+42
，
( x－4)2=15
由此可得
即
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配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得 2x2－3x=－1，
即
移项和二次项系数
化为1这两个步骤
能不能交换一下呢
?
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配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程
两边都加12
？
即
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练一练 解下列方程：
(1)x2+8x+4=0
；
(2)4x2+8x=-4
；
(3)-2x2+6x-
8=0.
解：移项，得x2+8x=－4.
配方，得(x+4)2=12.
开平方，得
解得
解：整理得x2+2x+1=0.
配方，得(x+1)2=0.
开平方，得x+1=0.
解得x1=x2=－1.
解：整理得x2－3x=－4. 配方，得
所以原方程无实数根.
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一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时，则 ，方程的两个根为
②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相
等的实数根
x1=x2=-n.
③当p0. 式子b2-4ac 的值有一下三种情况：
（1）b2-4ac ＞0，
这时 ＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
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（2）b2-4ac =0
这时 =0，由①可知，方程有两个相等的实
数根 x1=x2=- .
（3）b2-4ac ＜0
这时 ＜0，由①可知 ＜0 ，而x取任
何实数都不能使 ＜0 ，因此方程无实数根.
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两个不相等的实数根两个不相等的实数根
两个相等的实数根两个相等的实数根
没有实数根没有实数根
两个实数根两个实数根
判别式的情况 根的情况根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根
的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0 ≥ 0 一元二次方程根的判别式二
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按要求完成下列表格：
练一练
的值 0 4
根的
情况
有两个相等
的实数根 没有实数根 有两个不相
等的实数根
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例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=
5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
典例精析
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例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9；
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，
∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
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（3） 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0，
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程无实数根．
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
b2 - 4ac > 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac＜ 0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
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例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不
相等的实数根，则q的取值范围是( )
A.q≤4 B.q≥4
C.q16
C
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数
根，则b2-4ac>0，即 .解得q＜16，故选C.
典例精析
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【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
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（3） 5x – 1 = 4x2 .
解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0，
这里 a =4， b = – 5，c = 1.
Δ = b2 - 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先
把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 .
归纳
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例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个
根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以 x1 · x2=2x2=
即 x2=
由于x1+x2=2+ =
得 k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
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变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它
的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2=1+x2=6，
即 x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得 m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
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例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、
倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
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设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
(1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ，
(3) ，
(4) .
4 1
14
12
练一练
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将
所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再
整体代入.
归纳
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总结常见的求值:
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例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
且x1
2 +x2
2 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2
.
∴ x1
2 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x1
2 + x2
2 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4，
解得 k1= 0， k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0.
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根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待
定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，
即所求的字母应该满足△≥0.
归纳
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1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
和 1 ，则p = ， q= .1 -2
2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个
根是___，m =____.-3
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3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一
个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16，
设另一个根为x1，则：
1 × x1 =
∴x1 =
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4.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且
(x1+1)(x2+1)=4；
(1)求k的值； (2)求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得 k=-7.
(2)因为k=-7,所以
则：
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5.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之
间的关系，求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：根据根与系数的关系得：
(1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
(2)
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6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
拓展提升
由根与系数的关系，得
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7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1， 求m的值.解：(1)方程有实数根
∵m≠0，
∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1，x2
，
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
，
解得m=8.
经检验m=8是方程的解．
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根与系数的关
系（韦达定理）
内容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么
应用
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21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
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学习目标
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一
元二次方程.（重点）
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解
决问题.
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传播问题与一元二次方程一
引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121
人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传
染源记作A，其传染示意图如下：
合作探究
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第2轮
•••
A
1
2
x
第1轮 第1轮传染后人数
x+1
A
第2轮传染后人数
x(x+1)+x+1
注意：不要
忽视A的二次
传染
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x1= , x2= .
根据示意图，列表如下：
解方程，得解方程，得
答：平均一个人传染了答：平均一个人传染了________________个人个人..
10 -12 (不合题意,舍去)
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所
以一定要进行检验.
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2
根据题意，得根据题意，得
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想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有
多少人患流感?
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一
次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.
第一轮传染后
的人数
第二轮传染后的
人数
第三轮传染后的
人数
(1+x)1 (1+x)2
分析
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：
(1+x)3=(1+10)3=1331人.
(1+x)3
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例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又
长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是
133，每个支干长出多少小分支?
主
干
支干支干 ……
小
分
支
小
分
支
…
…
小
分
支
小
分
支
…
………
x
x x
1
解：设每个支干长出x个小分支，
则 1+x+x2=133
即x2+x-132=0
解得，
x1=11，x2=－12(不合题意，舍去
)答：每个支干长出11个小分支.
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交流讨论
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
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方法归纳
建立一元二
次方程模型实际问题 分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二
次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
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例2 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两
班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个
班级参赛？
解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一
场，故根据题意得
解得 x1＝6，x2＝－5(舍去)．∴x＝6.
答：共有6个班级参赛．
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某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次
手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？
解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，
共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得
解得 x1＝5，x2＝－4(舍去)．∴x＝5.
答：共有5个人参加聚会．
练一练
握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了
一次，所以要在总数的基础上除以2.
归纳
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【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，
采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计
划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？
解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
比赛，根据题意得
解得 x1＝9，x2＝－8(舍去)．∴x＝9.
答：共有9个班级参赛．
关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进
行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的
场数等于总场数列等量关系.
归纳
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例3 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的
平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
解：设这个两位数个位数字为 x ，则十位数字为(x－3)
，根据题意得
解得 x1＝5，x2＝6．
答：这个两位数是25或36.
∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.
解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准
确的表达出原数.
归纳
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1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺
卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级
一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A.x2=1980 B. x(x+1)=1980
C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可
列方程为（ ）
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73
D
B
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3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲
肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后
128人患上甲肝，则x的值为（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
D
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转
发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发
表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个
好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发
倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个
人参与了传播活动，则n=______.10
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5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班
之间共比赛了6场，则初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）
答：初三有4个班.
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传染源 本轮分裂成有
益菌数目
本轮结束有益
菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
60 60x 60(1+x)
60(1+x) 60(1+x)x
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，
经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每
一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有
益菌？
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解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，
经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每
一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有
益菌？
（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.
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7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个
数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与
原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的
数字为(5－x)，
解得 x1=2 ，x2=3.
答：原来的两位数是23或32.
依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736
当x＝2时，5－x=3；
当x＝3时，5－x=2；
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列一元
二次方
程解应
用题
与列一元一次方程解决实际问
题基本相同.不同的地方要检
验根的合理性.
传 播 问 题
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×
(1+每次传播数量)
第二轮传播后的量=第一轮传播后
的量×(1+每次传播数量)=传播前的
量×(1+每次传播数量)2
数 字 问 题
握 手 问 题
互赠照片
问 题
关键要设数位上的数字，要准确地
表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次
进行，所以总数要除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张
照片，故总数不要除以2.
步 骤
类 型
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21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
第2课时 平均变化率问题与一元二次方程
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学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型
.（难点）
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问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次
月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20% ，第三
次月考又增长了20% ，问他第三次数学成绩是多少？
第二次数学成绩：75×(1+20%)=90
第三次数学成绩：90×(1+20%)=108
或第三次数学成绩：
75×(1+20%) 2=108
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两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种
药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生
产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成
本是3600 元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
探究归纳
下降率=下降前的量-下降后的量
下降前的量
平均变化率问题与一元二次方程一
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分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额
为(5000-3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下
降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本
的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同
于年平均下降率(百分数).
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解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲
种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2元，于是有
5000(1-x)2=3000
解方程，得
x1≈0.225， x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的
年平均下降率约为22.5%.
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设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药
品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为
6000(1-y)2元，于是有
6000(1-y)2=3600
解方程，得
y1≈0.225， y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的
年平均下降率约为22.5%.
由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下
降率相同.
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例1 前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产
技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，
试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，
列方程，得
3600 ( 1－x )2 = 1764，
解方程，得 x1=0.3，x2=1.7.
根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降
率约为30％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
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变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知
两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到
0.1% ）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
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例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，
盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”
，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益
学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．
如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相
同，求这个增长率.
解：设增长率为x，根据题意，得
20（1+x）2=24.2.
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
答：增长率为10%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
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问题 你能总结出有关增长率和降低率的有
关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普
遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分
率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次
后的量是b，则它们的数量关系可表示为
a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
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例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200
万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平
均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50% .
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得 4x2+12x-7=0，
解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5= 50% .
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填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，
可卖100件.
(1)此时的利润w= 元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为_____元，同时少卖
了10件，销售量为_____件，利润w=_____元;
(3)若售价涨了2元，每件利润为_____元，同时少卖
了20件，销售量为____件，利润w=_____元;
100
2
90 180
3
80 240
合作探究
营销问题与一元二次方程二
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(4)若售价涨了3元，每件利润为____元，同时少卖
了30件，销售量为____件，利润w=______元;
(5)若售价涨了x元，每件利润为________元，同时
少卖了____件，销售量为__________ 件，利润
w=______________元.
4
(1+x)
70
(100-
10x)
10x
280
(1+x)(100-
10x)想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件
商品应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300
，解得x1=4,x2=5.
即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.
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变式训练
假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖
100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖
这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5
倍，则每千克糖应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，
解得x1=4,x2=12.
∵售价不高于成本价的2.5倍，
即x+12≤2.5×8. ∴x≤8. ∴x=4.
题目中
有限定条件时，
要注意取舍.
注意
即每千克糖应涨价4元.
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解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
答：每件衬衫应降价10元或20元.
例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件
盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场
平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，
每件衬衫应降价多少元？
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增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈
利1200元，每件衬衫应降价多少元？
变式训练
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
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1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；
2.根据利润=销量×单件利润列方程；
3.解方程；
4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等
条件，进行取舍；
5.作答.
要点归纳
用一元二次方程解决营销问题的一般步骤
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1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为
720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的
投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上
的平均增长率是x，则可列方程为 .
B
2(1+x)+2(1+x)2=8
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3.青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今
年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年
平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10% .
7200(1+x)2=8712
(1+x)2=1.21
1+x=1.1，1+x=-1.1
x1=0.1= 10% ，x2=-2.1，（舍去）
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4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，
能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减
少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时
应进货为多少个？
根据每件商品的利润×件数=8000，
分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_______元，
则每个商品的利润为_______________元，
因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其
销售量会减少_____个，故销售量为___________个，
可列方程为_______________________________.
[(50+x)－40]
(500－10x)10x
(50+x)
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000
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解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销
售量为(500－10x)个，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时，50+x =60，500－10 x=400；
当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为
60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量
应为200个.
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5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对
外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜
滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次
下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得 x1=20% ，x2=1.8 （舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%.
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(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李
伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九
折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问
小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
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能力提升
为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近
期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25
万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）
和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销
售单价不得高于35万元，如果该
公司想获得130万元的月利润，那
么该设备的销售单价应是多少万
元？
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（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．
整理方程，得x2-65x+1026=0．
解得x1=27，x2=38．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴x2=38（舍），所以x=27．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
依题意，得
解得
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．
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平
均
变
化
率
问
题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增
长前的量，x为增长率，
2为增长次数，b为增长
后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前
的量，x为降低率，2为降
低次数，b为降低后的量.
注意1与x位置不可调换.
营销问题
常用公式：总利润=单件利
润×销量=（售价-进价）×
销量
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21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
第3课时 几何图形与一元二次方程
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学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
（重点）
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(60+2x)(40+2x)=3500
假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱
上同样的宽度木框，使它总面积达到3500cm2 ，设木
框宽度xcm，你能列出等式吗？
人教新版九年级数学上册教学课件
几何图形与一元二次方程一
引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm
，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如
果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，
上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
2
7
c
m
21cm
合作探究
人教新版九年级数学上册教学课件
分析：这本书的长宽之比 ： ，
正中央的矩形长宽之比 ： .
9 7
9 7
2
7
c
m
21cm
设中央矩形的长和宽分别为9a cm
和7a cm由此得到上下边衬宽度之
比为：
人教新版九年级数学上册教学课件
2
7
c
m
21cm
设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中
央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.
要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一，则中
央矩形的面积是封面面积的四分
之三.
人教新版九年级数学上册教学课件
2
7
c
m
21cm
解方程得
故上下边衬的宽度为
:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根
合乎实际意义?
为什么?
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简
单地解决上面的问题？
于是可列出方程
整理，得 16x2-48x+9=0
人教新版九年级数学上册教学课件
解：设正中央的矩形两边别为9x cm
，7x cm.依题意得
2
7
c
m
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
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几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的
面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图
形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间
的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
人教新版九年级数学上册教学课件
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米.
例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上
修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要
使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他
解法吗？
方法一：
人教新版九年级数学上册教学课件
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米.
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.
∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：
人教新版九年级数学上册教学课件
在宽为20m，长为32m的矩形
地面上修筑同样宽的道路，余下的部分
种上草坪，要使草坪的面积为540m2，
则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
人教新版九年级数学上册教学课件
20
32
x
xx
20-x
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同
样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积
为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-2x)(20-x)=540
可列方程为
32-2x
人教新版九年级数学上册教学课件
20
32
x
xx
x
20
32
2x
2x
32-2x
20-2x
在宽为20m，长为
32m的矩形地面上修筑
同样宽的道路，余下的部分种
上 草 坪 ,要 使 草 坪 的 面 积 为
540m2，则这种方案下的道路
的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-2x)(20-2x)=540
可列方程为
人教新版九年级数学上册教学课件
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，
余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为
3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则
道路的宽为多少？
32cm
20cm
2x
3x
人教新版九年级数学上册教学课件
小路所占面积是矩形
面积的四分之一
剩余面积是矩形面
积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(32-4x)(20-6x)= —×20×32
20㎝
32㎝
3x
2x
32-4x
20-6x
4
3
3x
2x
6x
4x
32-4x
20-6x
人教新版九年级数学上册教学课件
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不
会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使
列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际
施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
人教新版九年级数学上册教学课件
视频：平移求面积动态展示
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解：设AB长是x m.
(58-2x)x=200
x2-29x+100=0
x1=25，x2=4
x=25时，58-2x=8
x=4时，58-2x=50
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用
58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊
圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
CB
A
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解：设AB长是x m.
(80-2x)x=600
x2-40x+300=0
x1=10，x2=30
x=10时，80-2x=60>25，(舍去)
x=30时，80-2x=2012 (舍去）
当x=8时，26-2x=100,方程有两个不等的实数根
Δ=0,方程有两个相等的实数根
Δ
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