天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级上册 / 第23章 图形的相似 / 华师版九年级数学上册第23章 图形的相似 精品教学课件.ppt
资料简介
华师版九年级数学上册教学课件
23.1 成比例线段
第23章 图形的相似
第1课时 成比例线段
华师版九年级数学上册教学课件
1.掌握相似图形的概念；（重点）
2.了解成比例线段，比例的基本性质； (重点)
3.能根据比例的基本性质解决相关问题.（难点）
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
问题2 多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变了
吗？大小呢？
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下面图形有什么相同和不同的地方？
讲授新课
相似图形的概念一
问题引导
华师版九年级数学上册教学课件
相同点：形状相同．
不同点：大小不相同.
相似图形的概念：
形状相同的图形叫做相似图形.
注意：相似图形的大小不一定相同.
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
由下面的格点图可知， ＝_________，
＝________，这样 与 之间的关系是什么？
线段的比及比例线段二
探究归纳
2
2
华师版九年级数学上册教学课件
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
长度的比等于另外两条线段的比， 如 （或a∶b＝c∶d），
那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也
称这四条线段成比例．
两条线段的比就是它们长度的比；
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个数成比例可写成怎
样的形式？
或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c，
则b叫做a,c的比例中项.
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，那么 、 各等于多少？2．已知
1．已知： 线段a、b、c满足关系式
且b＝4，那么ac＝______．
，
练一练
16
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例：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段.
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解： （1） ∵
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
，
∴ ，
典例精析
华师版九年级数学上册教学课件
（2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2） ∵
∴
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
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● 注意:
● 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍；
● 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比
时两 条线段的长度单位必须一致；
● 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
● 4.除了a=b外,a:b≠b:a, 互为倒数.
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如果 ，那么ad＝bc．如果ad＝bc （a、b、c、d都
不等于0），那么 .
对于成比例线段，我们有下面的结论：
．
你还可以得到其他
的等比例式吗？
比例的基本性质三
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例： 证明：（1）如果 ，那么 ；
证明:（1）∵
在等式两边同加上1，
∴
∴
典例精析
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∴ ad＝bc，
∴ － ad＝ － bc，
在等式两边同加上ac，
∴ ac－ad＝ac－bc，
∴ a（c－d）＝（a－b）c，
两边同除以（a－b）（c－d），
（2） 如果 ，那么
证明： ∵
．∴
（其中a≠b，c≠d).
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合比性质：
等比性质：
（b+d+···+m≠0）
拓展归纳
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1.下列各组数中一定成比例的是( )
A.2，3，4，5 B.-1，2，-2，4
C.-2, 1, 2，0 D.a，2b，c，2d
2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q，
则下面所给的比例式正确的是( )
A. m：n=p：q B.m：p=n：q
C.m：q=n：p D.m：p=q：n
B
D
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件课堂小结
1.比例的基本性质：
2.常用方法：设元法，即设一份为k;
3. 把b叫做a,c的比例中项;
4.若线段a,b,c,d满足 ，则a,b,c,d叫做成比例线段，
简称比例线段.
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5. 比例线段的等价变形：
a ：b=c：d
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23.1 成比例线段
第23章 图形的相似
第2课时 平行线分线段成比例
华师版九年级数学上册教学课件
1.掌握“平行线分线段成比例”的基本事实；（重点）
2.掌握平行于三角形一边的直线的性质； (重点)
3.能根据以上掌握的内容解决相关问题.（难点）
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
问题1 什么是成比例线段？
问题2 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两
部分的比是2:3？
导入新课
回顾与思考
华师版九年级数学上册教学课件
如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线
m,n于
（1）计算 你有什么发现？
讲授新课
平行线分线段成比例一
华师版九年级数学上册教学课件
（2） 将直线ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ
与直线ｂ的交点分别为 .你在问题（１）中发现的结
论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
(图2）
成立，直线b平移到其他位置依然成立.
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（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，
截得的线段成比例吗？
归纳：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所
截，所得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c ，则
符号语言：
成比例
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1.如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
议一议
华师版九年级数学上册教学课件
如图3，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1
，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2
，C3.如图4 ，图4中有哪些成比例线段？
（图3） (图4）
m n m n
A1
A2
A3
B1
B2
B3
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
a
b
c
a
b
c
平行于三角形一边的直线的性质二
华师版九年级数学上册教学课件
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）
，所得的对应线段成比例.
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如图，在△ABC中， EF∥BC.
（1）如果E、F分别是AB和AC上的点， AE = BE=7, FC = 4 ，
那么 AF的长是多少？
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
A
B C
E F
练一练
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1.1.直线直线ll11//l//l22//l//l33,l,l44、、ll55、、ll66被被ll11、、ll22、、ll33所截且所截且AB=BC,AB=BC,则图中还有哪则图中还有哪
些线段相等？些线段相等？
思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？
当堂练习
ll5 ll6
AA DD MM
ll4
ll3
ll2
BB
CC
EE
FF
NN
OO
ll11
DE=EF, MN=ON
华师版九年级数学上册教学课件
2.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC.
（1）如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC的长是
多少？
（2）如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm ，那么EC的长是多少？
A
B C
D E
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1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
2.平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得
的对应线段成比例.
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
23.2 相似图形
第23章 图形的相似
华师版九年级数学上册教学课件
1.理解相似多边形的定义，并能根据定义判断两个多边形是
否相似；（重点）
2.掌握相似比的概念并会求相似比； (重点)
3.理解并且掌握相似多边形的性质与判定.（难点）
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
请观察下面几组图片,是我们前面学过的相似图形吗？
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
下图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应
边之间有什么关系呢？对应角之间又有什么关系？
讲授新课
相似多边形的性质一
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再看看下图中两个相似的五边形，是否与你观察前面
的图所得到的结果一样？
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由此可以得到两个相似多边形的性质：
实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果
_________________________，那么这两个多边形相似．
对应边成比例，对应角相等．
对应边成比例，对应角相等
华师版九年级数学上册教学课件
在图所示的相似四边形中，求未知边x的长度和角度α的大小．
思考
两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个
等边三角形呢？
练一练
华师版九年级数学上册教学课件
A
B C
A1
B1 C1
缩小
下面两个等边三角形对应角有什么关系？对应边有什么关
系？两个等边三角形又有什么关系？
∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1
AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1
AB = BC = AC ，A1B1 = B1C1 = A1C1
60°
60°
对应角相等
对应边成比例
根据定义判定相似多边形二
两三角
形相似
华师版九年级数学上册教学课件
放大
120°
120°
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 对应角相等
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
D
F1
E1
D1
∠D =∠D1，∠E =∠E1，∠F =∠F1
正六边形
华师版九年级数学上册教学课件
正六边形
放大
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
D
F1
E1
D1AB = BC = CD = DE = EF = FA ，
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1
对应边成比例
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 =DE : D1E1 =EF : E1F1
=FA : F1A1
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相似比:相似多边形对应边的比（相似比大于零）.
相似多边形的定义：
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各
角对应相等相等 ，就称这两个多边形相似，就称这两个多边形相似..
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．
当堂练习
不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边不成比例.
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2．如图，正方形的边长a＝10，菱形的边长b＝5，它们相
似吗？请说明理由．
不相似，因为这两个四边形对应边成比例，但对应角不相等.
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3．如图所示的两个矩形是否相似？
不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边对应不
成比例.
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3.相似比:相似多边形对应边的比（相似比大于零）.
1.相似多边形的性质：
对应角相等对应角相等 ，对应边成比例，对应边成比例（对应边的比相等）..
2.相似多边形的定义：
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各
角对应相等相等 ，就称这两个多边形相似，就称这两个多边形相似..
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
23.3 相似三角形
第1课时 相似三角形
华师版九年级数学上册教学课件
1.理解并掌握相似三角形的定义；（重点）
2.掌握由平行线判定两个三角形相似； (重点)
3.经历三角形相似的定义及由平行线判定两个三角形相似的
探究过程.（难点）
学习目标
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问题1 相似多边形的主要特征是什么？
问题2 相似比的定义是什么？
导入新课
回顾与思考
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我们就说△ABC与△A′B′C′______，记作
__________________，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，
△A′B′C′与△ABC的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
△ABC∽△A′B′C′
相似
讲授新课
相似三角形的性质及有关概念一
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反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有
∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,
且 .
∠A′ ∠B′ ∠C′
相似比为1时，相似的
两个图形有什么关系？
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当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种
特殊的相似.
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如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. A
B C
D
解:相似，在△ADE与△ABC中，
∠A= ∠A.
∵ DE//BC，
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F
F
E
由平行线判定两个三角形相似二
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
∴△ADE∽△ABC
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平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线
)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
“A”型 “X”型
（图2）
D E
O
B C
A
B C
D E
（图1）
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
1.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____.
2.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=
4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____ .
3.若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一
个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是
_____.
4.已知△ABC的三条边长为3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那
么△A1B1C1的形状是__________，又知△A1B1C1的最大边长为
25cm，那么△A1B1C1的面积为________.
全等
4︰3
24cm
直角三角形
150cm2
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
5.若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那
么∠ C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
6.把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，
下列结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
C.△ABC与△A′B′C′的相似比为
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为
C
C
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2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种
特殊的相似；
3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相
交,所构成的三角形与原三角形相似.
课堂小结
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于
对应边的比；
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23.3 相似三角形
第2课时 利用两角判定两个三角形相似
华师版九年级数学上册教学课件
1.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）
2.经历相似三角形的判定定理1的探究过程.（难点）
学习目标
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1.观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似吗
？测量测量，得出你的猜想.
导入新课
观察与思考
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2. 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75°
.
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗?
华师版九年级数学上册教学课件
如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究
下列问题：
（1）你认为∠C和∠C′相等吗？
（2）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC, A′B′, B′C′,
A′C′的长，并计算出对应边的比值是否相等？
（3）试证明△ABC∽△A′B′C′.
C
A A'
B B' C'
讲授新课
利用两角对应相等判定两个三角形相似
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（1）解：在△ABC中，∠C=180°－∠A － ∠B
在△A′B′C′中，∠C′=180° － ∠A′ － ∠B′
∵ ∠A=∠A′, ∠B=∠B′
∴ ∠C= ∠C′
（2）解：借助刻度尺度量发现，
华师版九年级数学上册教学课件
（3）证明：在△ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截
取AD=A′B′，过点 D 作DE//BC，交AC于点 E，则有
△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵∠A=∠A′, AD=A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
华师版九年级数学上册教学课件
C
A
A
'
B B' C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
(两个角分别相等的两个三角形相似)
相似三角形的识别
归纳：
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1.判断题：
⑴所有的直角三角形都相似.（ ）
⑵所有的等边三角形都相似.（ ）
⑶所有的等腰直角三角形都相似.（ ）
⑷有一个角相等的两等腰三角形相似.（ ）
×
√
√
×
华师版九年级数学上册教学课件
2.已知：如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E
∴ △ABC∽△ADE
华师版九年级数学上册教学课件课堂小结
相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别
与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似
（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.
证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法：
定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两
个三角形叫做相似三角形.
常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的
延长线，所得的三角形与原三角形相似.
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23.3 相似三角形
第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似
华师版九年级数学上册教学课件
1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；（重点）
2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程.
（难点）
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？
问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是
原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相
等吗？这两个三角形相似吗？
E
解：相等，因而相似.
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似一
华师版九年级数学上册教学课件
如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′ ,
A′B′:AB=A′C′:AC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
B′`
C′
A
B C
ED
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连结DE.
∠A=∠A′, 这样,△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
华师版九年级数学上册教学课件
如果一个三角形的两边长与另一个三角形的两边长对应成
比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 .
(两边对应成比例且夹角相等，两个三
角形相似)
A
B C
A′
B′ C′
∵A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′
∴△A′B′C′∽△ABC
归纳：
华师版九年级数学上册教学课件
如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边
的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
A
B
C D
E
F
不相似
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
归纳：
如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不
是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
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如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE
，
AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
△ABC∽△ADE.
练一练
证明：
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△ABC∽△DCA
3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，
BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
B C
D
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下面两个三角形中， ，求证△ABC∽△A′B′C′.
A
B C C′B′
A′
利用三边对应成比例判定两个三角形相似二
华师版九年级数学上册教学课件
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A′
B′ C′
A
B C
D E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∴AD:AB=AE:AC.
∵∠A=∠A′，∴△ADE∽△ABC.
∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′, EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴△ADE≌△A′B′C′,
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△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边
对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似.
A
B C C′B′
A′
归纳
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1.如图,已知 ，试说明∠BAD=∠CAE.
A
D C
E
B
解：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
练一练
华师版九年级数学上册教学课件
2.已知AB=10，BC=8 ，AC=16，A′B′=16，B′C′=12.8，
C′A′=25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
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判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形
的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，
计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
方法归纳
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1.根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似，并
说明理由：
∠A=120°，AB=3cm，AC=6cm,∠A´=120°，
A´B´=6cm，A´C´=12cm.
∴A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′ ，
∴△A′B′C′∽△ABC
解：∵A′B′: AB=2 , A′C′: AC=2,
∠A=∠A′=120°.
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(2) AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm,A´B´=12cm ，
B´C´=18cm ，A´C´=21cm
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2.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵
∴△AEB∽△FEC.
∵∠1＝∠2，
54 30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
∴
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相似三角形的判定定理3： 如果一个三角形的三条边和另一
个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说：三边对应成比例，两三角形相似.
相似三角形的判定定理：
课堂小结
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2： 如果两个三角形两边对应成比例，
两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似.
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
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23.3 相似三角形
第4课时 相似三角形的性质
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1.掌握相似三角形的性质；（重点）
2.经历探索相似三角形性质的过程.（难点）
学习目标
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问题1 判定两个三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似多边形的对应角、对应边的性质是什么？
导入新课
回顾与思考
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如图，△ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC， 上
的高AD， ．求证：
证明: ∵△ ∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ =∠ADB =90°，
∴△ ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似
)
从而 (相似三角形的对应边成比例
)
讲授新课
相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比一
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•• 相似三角形的相似三角形的对应边上的高的比对应边上的高的比等于等于相似比相似比..
•• 类似地，可以证明相似三角形对应类似地，可以证明相似三角形对应边上边上的的中线中线，对应，对应
角的平分线的比角的平分线的比也等于也等于相似比相似比..
•• 因而，相似三角形的因而，相似三角形的对应高对应高、、中线中线、、角平分线角平分线的比等的比等
于相似比于相似比..
•• 一般地，我们有：一般地，我们有：
•• 相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比..
相似三角形的性质定理1：
归纳
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如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相
似多边形呢？ A
B C
A'
B'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
C'
相似三角形周长的比二
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从而
相似三角形周长的比等于相似比.
相似多边形周长的比等于相似比.
归纳
同理得：
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如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为k，它们的面积比
是多少？ A
B C
A'
B' C'D'D
解：如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ．
∵ ∠ADB =∠A' D' B' ∠B＝∠B'
∴ △ADB∽△A' D' B'
相似三角形面积的比等于相似比的平方三
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相似三角形面积的比等于相似比的平方．
归纳
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如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k，
它们面积的比是多少？
相似多边形面积比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
延伸探究
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1.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝
∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积
．
A
B C
D
E F
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∴ △DEF∽△ABC，相似比为
又 ∠D＝∠A
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
∴△DEF的周长= △ABC的周长，
△DEF的周长=12.
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2.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的
周长也扩大为原来的5倍；
解：
（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
扩大5倍周长＝5×原周长
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（2）一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边
形的面积也扩大为原来的9倍．
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3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是
30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的
蛋糕够多少人吃（假设两种蛋糕高度相同）？
两种蛋糕是相似的，
相似比是1：2，
面积的比为
设半径是30cm的蛋糕够x人吃
1：4＝2：x
x = 8
答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
解：
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4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的
2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形
的面积发生了怎样的变化？
解： 放大比例为
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1.1.相似三角形的相似三角形的对应高，中线，角平分线的比对应高，中线，角平分线的比等于等于相似比相似比..
一般地，我们有：一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比..
2.相似三角形周长的比等于相似比；
相似多边形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
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23.3 相似三角形
第5课时 相似三角形的应用
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1.掌握相似三角形的应用；（重点）
2.进一步了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能
力.（难点）
学习目标
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问题1 判定两三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似三角形的性质有哪些？
观察与思考
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乐山大佛
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世界上最高的树
—— 红杉
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台湾最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常
高大物体的高度？
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世界上最宽的河
——亚马逊河
怎样测量河宽？
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利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体
的高度及两物之间的距离问题.
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据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似
三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光
线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为
201m,求金字塔的高度BO.
利用相似三角形测量高度一
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解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF.
因此金字塔的高为134m.
如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为201m,
求金字塔的高度BO.
又 ∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF.
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AF
E
B
O
┐┐
还可以有其他方法测量吗？
OB
EF =
OA
AF
△ABO∽△AEF OB = OA · EF
AF
平面镜
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如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,
在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接
着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q
且垂直PS的直线b的交点为R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,
求河的宽度PQ.
利用相似三角形测量宽度二
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因此河宽大约为90m.
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测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
方法归纳
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例：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和
CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正
对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的
树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点?
典例精析
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分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人的身
高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线
FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C点．类似地,
∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都在观
察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.
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解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛
的位置点F与两棵树的顶端点 A、C恰在一条直线上．
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的
距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C
在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
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1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降
0.5m时,长臂端点升高______m. 8
O
B
D
C
A
┏
┛1m
16m
0.5m
？
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的
影长为3米,则树高为______米. 4
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解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的
高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边
长为 x 毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高
AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的
边长是多少？
N
MQ
P E
D CB
A
AE
AD = PN
BC
因此 ，得 x=48（毫米）.80–x
80 = x
120
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1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
（不能直接使用皮尺或刻度尺测量）
（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一
时刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2）测距
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2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）构建图形；
（3）利用相似解决问题.
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23.4 中位线
第23章 图形的相似
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1.理解中位线的概念和性质；（重点）
2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点)
3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点）
学习目标
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问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
问题2 相似三角形有哪些方面的应用？你会解决下面的问
题吗？
观察与思考
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A
BC
测出MN的长，就可知A、B两点的距离.
M
N
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.
若若MNMN=36 m=36 m，则，则ABAB==22MNMN=72 m=72 m
如果，如果，MM、、NN两点之间还有两点之间还有
阻隔，你有什么解决办法？阻隔，你有什么解决办法？
华师版九年级数学上册教学课件
A
B C
E F
. .
D
.
中位线
中
线
什么是三角形的中线？（连结顶点与对边中点的线段）
设疑：如果连结两边中点的线段呢？
三角形的中位线及其性质一
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A
B C
D E
DE是三角形ABC的中位线.
什么叫三什么叫三
角形的中角形的中
位线呢？位线呢？
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连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B C
画出△ABC中所有的中位位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线
和中线的区别.
D
E
F
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理解三角形的中位线定义的两层含义
:
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、
AC的 .
① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的
；
CB
A
ED
中位线
中点
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在△ABC中，中位线DE和
边BC什么关系?
DE和边BC的关系
数量关系：
位置关系：
DE∥BC
A
B C
D E
平行
DE是BC的一半
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结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
D
A
B C
E
如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有： DE∥BC, DE= BC.
能说出理由吗能说出理由吗??
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如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有： DE∥BC, DE= BC.
D
A
B C
E F
用不同的
方法证明
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三角形中位线的性质三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
用符号语言表示
D
A
B C
E
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，
DE= BC.
2
1
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如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别
是各边中点
AB=6cmAC=8cm,BC=10cm， 则
△DEF的周长= cm
图1
图2
60
4
12
A
B C
D E
B
A C
D
E
F
练一练
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如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相
交于G．求证：
证明:连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
∴ DE∥AC，
∴ △ACG∽△DEG，
∴
∴
三角形的重心二
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● 如果在上图中，取ＡＣ的中点Ｆ，假设ＢＦ与ＡＤ
交于Ｇ`，如下图，那么我们同理有，
所以有 ，即两图中的点G与G`是重合的.
● 于是我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，
这个点就是三角形的重心，重心与一边
中点的连线的长是对应中线长的 .
A
B CD
F
G`
A
G`
归纳
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1.如图：EF是△ABC 的中位线，BC=20，则
EF=________;
10 10
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2.在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是
OB、OC的中点，则EF和MN的关系是
_______________.
平行且相等
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3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的
四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
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证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= AC.
同理 EF∥AC, EF= AC,
∴HG∥EF ,HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
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1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线.
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并
且等于它的一半.
3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系，三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系，
而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点
时，可转化为中位线时，可转化为中位线..
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23.5 位似图形
第23章 图形的相似
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1.了解位似图形及其有关概念；（重点）
2.理解位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于
位似比；（重点）
3.会画位似图形并会利用位似解决一些简单的问题.（难点）
学习目标
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问题1 我们学过的图形变换形式有哪些？
问题2 什么叫相似？相似图形有哪些性质？
观察与思考
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例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到
屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师
通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的
图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图
片和满意的照片．这种相似有什么共同的特征吗？
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图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O
O
O
位似图形的概念及性质一
问题引导
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图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶
点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，
这个点叫做位似中心．
概念形成：
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性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之
比等于相似比.
探究归纳
从左图中我们可以看到，
右图呢？你得到了什么？
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2) 分别在线段OA、OB、OC、
OD上取点A' 、B' 、C' 、D' ,使
得
3) 顺次连结点 A' 、B' 、C' 、D' ，
所得四边形A' B' C' D' 就是所要求
的图形．O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
1.把四边形ABCD 缩小到原来的1/2.
1) 在四边形外任选一点O（如图），
位似图形的画法二
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对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点
O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A ' ，B ' 、C ' 、
D ' ，使得 呢？如果点O取在四边形ABCD
内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
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2.如图，△ABC，画△A’B’ C‘ ，使△A’ B‘ C’ ∽△ABC，
且使相似比为1：4，
要求:（1）位似中心在△ABC的一条边AB上；
（2）以点C为位似中心．
B
A
C
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（1）位似中心在△ABC的一条边AB上
B
A
CB
A
B
A
B
A
B
A
（2）以点C为位似中心
B
A
CB
A
B
A
B
A
B
A
假设位似中心点O在AB上，
相似比1:4，点O位置如图
（1）所示
o
●
●
A`
B` C`
●
● ●
A`
B`
(C`)
●
●
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2.利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
3.位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连结
两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连结两个对
应点的线段之外.
1.画位似图形的一般步骤:
1)确定位似中心;
2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;
3)根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点;
4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳
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1.如图，△OAB 和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？
为什么？
O
A
B
C
D
解：AB∥CD.
∵△OAB与△OCD是位似图形，
∴△OAB ∽△OCD，
∴∠OAB=∠C，
∴AB∥CD.
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2. 如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
O
A
B
C
解：①作射线OA 、OB 、 OC ，
②分别在OA、OB 、OC 上
取点A' 、B' 、C' 使得
③顺次连结A' 、B' 、C'
就是所要求图形.
A'
B'
C'
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3.画出以O为位似中心，将五边形ABCDE缩小到原来的0.5
倍的五边形A`B`C`D`E`.
D
B
E
CO
●
A ●
●
●
●
●
A`
B`
D`
C`
E`
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1. 位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的
连线相交于一点，对应边互相平行或者在一条直线上，像这
样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形的性质：
（1）位似图形一定相似，位似比等于相似比；
（2）位似图形对应点和位似中心在同一条直线上；
（3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或
相似比；
（4）对应线段平行或者在一条直线上．
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23.6 图形与坐标
第1课时 用坐标确定位置
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1.掌握确定物体位置的几种常用方法；（重点）
2.能灵活地选用合适的方法确定物体的位置.（难点）
学习目标
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问题1 什么是平面直角坐标系？建立平面直角坐标系后，
平面内的点可以用什么来描述？
有序实数对(a,b)
点P可记作P(a，b)．
· P
O x
y
1-2 -1
1
-1
a
b
观察与思考
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问题2 美伊战争美军从地中海，红海，波斯湾三艘航空母舰
上对巴格达发射了战斧式巡航导弹，当时巴格达一片火海，
美国的导弹为何会打得那么准？
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夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图所
示，地图上画了一个平面直角坐标系，作为定向标记，给出
了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4，5）、
（0，3）．
目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四
座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就
到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．
用坐标确定位置一
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●四座农舍的坐标是：
（1，2）
（－3，5）
（4，5）
（0，3）
农舍1
农舍4
农舍2
农舍3 ·
··
· · A
点A为目的地的位置．
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怎样确定某个地方的位置？
可以建立平面直角坐标系，用坐标表示各地的位置.
平面直角坐标系的位置不同，用坐标表示某地的位置也不同.
探究归纳
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如图是某乡镇的示意图．试建立平面直角坐标系，用坐标表示
各地的位置：
用平面直角
坐标来表述
各地的位置
这是用什
么方法来
表述各地
的位置?
(1,3) (3,3)
(-1,1)
(-3,-1)
(2,-2)
(-3,-4) (3,-3)
和同学比较
一下,大家
建立的平面
直角坐标系
的位置是一
样的吗?
(4,4)(2,4)
(0,2)
(-2,0)
(-2,-3)
(3,-1)
(4,-2)
O x
y
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下图是某乡镇的示意图．试建立平面直角坐标系，用坐标
表示各地的位置：
练一练
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有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一
个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：
1. 如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置；
2.电影院的座位用几排几座来表示；
3.国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等．
方法归纳
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下图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置?又如何描述A、B、
C的位置?
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E2在什么位置?又如何描述A、B、C的位置?
E2
E3
E4
C7
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我们还可以用其他方式来表示物体的位置．
例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的
信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，
距离此处3千米的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离
此处2.4千米的地方；
“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此
处1.1千米的地方．
根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：
用“角度（方向）+距离”表示地理位置二
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看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这
种方式在军事和地理中较为常用．
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东
南
西
北 悠悠日用化工品厂
明天调味品厂
321号水库
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下图是小明所在
学校的平面示意
图，小明可以如
何描述他所住的
宿舍的位置呢？
O
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1. 小明家O，学校A和公园C的平面示意图如下，图上距离
OA=2cm，OC=2.5cm．
（1）学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上？
（2）若学校A到小明家O的实际距离是400m，求公园C到小
明家O的实际距离．
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解：（1）∵∠NOA=90°﹣45°=45°，∠CON=90°﹣60°=30°
，
∴学校A在小明家的北偏东45°方向，公园C在小明家的北
偏西30°方向；
（2）设公园C到小明家O的实际距离是x米，依题意得
，
解得 x=500．
答：公园C到小明家O的实际距离是500米．
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4.已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且
依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3）， （2，3），（3，2），（3
，0），（1，-1），（2，-1）,（1，-3） （0，-1），
（-1，-3）（-2，-1），（-1，-1）,（-3，0）,（－3，2），
（-2，3），（0，0）.
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有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一
个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：
1. 如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置；
2.电影院的座位用几排几座来表示；
3.国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等；
4.表示某些地理位置时，还可以用角度（方向）、距离这两
个量刻画物体的位置.
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23.6 图形与坐标
第2课时 图形的变换与坐标
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1.在同一平面坐标系中，感受图形上的点的变化与图形的变化
的关系；（重点）
2.掌握图形变化前后坐标之间的规律.（难点）
学习目标
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问题1 作位似图形有哪些步骤？
问题2 怎样用坐标来确定位置？
观察与思考
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矩形公园ABCD的长宽分别是6 千米, 4千米 ,以公园中心为原点
建立坐标系, 写出各顶点的坐标.找出各点的关系 .
B
C D
A
解: 公园各顶点坐标为A( 3 , 2),B( -3 , 2 ),C( -3 , -2 ), D( 3 , -2 ) .
x
y
O
(-3, -2 )
( -3 ,
2)
( 3, 2 )
( 3 , -2)
1
1
点A与点 D关于x轴对称
横坐标相同,纵坐标互为相反数
点A与点 B关于y轴对称
纵坐标相同,横坐标互为相反数
点A与点 C关于原点对称
横坐标、纵坐标均互为相反数
图形的变换与坐标一
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B
C D
A
x
y
0
(-3, -2 )
( -3 , 2) ( 3, 2 )
( 3 , -2)
1
1
观察：(1)由点B到点A是
怎样移动得到的？它们
的坐标有何关系？
(2)在图中，你还能
看到哪些点的移动？
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如果是△AOB 向右移动3个单位长度，得到△A ’O’ B ’ ，各顶
点的坐标又有什么变化？你能用自己的语言归纳这个规律吗？
A
B
你能画图说明△AOB向左移动
时，对应点的坐标又有什么规
律吗？
O’ B’
y
x
A
’
规律(1)左右移动时，横坐标
左减右加，纵坐标不变.
O
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A
2 4 B
将△AOB向上或向下移动几个单位长度，你能探索出图形上
下移动的规律吗？
规律:（ 2 ）上下移动时，
横坐标不变,纵坐标上加
下减.
y
x
-5
4
O
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将△AOB沿着x轴对折，得到△A ’ OB,画图并说明对应顶点有
什么变化？
规律：对应点关于x轴对称.
即对应点的横坐标相等、纵
坐标互为相反数.
y
x
A
B
A’
O
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画出△ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y 轴对折
后的△A ’ B’ C ’，并观察对应顶点又有什么样的变化？
规律：对应点关于 y
轴对称.即对应点的
横坐标互为相反数、
纵坐标相等.
y
x
A
B
CC’
B’
A’
O
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画△AOB关于原点对称的△A ’O B ’ 你有什么发现？
0
规律：对应点关于原点对称.即对应点的横坐标和纵坐标互为
相反数.
x
y
A
BB’
A’
O
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如果将△AOB缩小，变成△COD，它们的相似比是多少？对应
点的坐标有什么变化？
规律： 横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数.
x
6
2
0 2 6
y
C
D
A
B
O
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O
x
y
4
-4 -2
A
B
C
2 4
-4
1.画出△ABC向下平移4个单位后的图形；
2 .画出△ABC关于原点对称的图形；
3.以O为位似中心，将△ABC放大2倍.
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如图，在平面直角坐标
系中，有两点 A（6，3），B
（6，0）．以原点O为位
似中心，相似比为 ，
把线段AB缩小，观察对
应点之间坐标的变化，
你有什么发现？
位似变换后A，B的对应点为A ' （ ， ），B'（ ，
）；A"（ ， ），B"（ ， ）．
2 1
2 0 － 2 － 1 － 2 0
2
4
6
8
2 4 6 8-2
-4
-6
-8
-2-4-6-8 O
A
BA'
B'
A"
B" x
y
图形的位似变换与坐标二
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2
4
6
8
2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-2-4-6-8 O 910 12-10-12
如图，△ABC三个顶点
坐标分别为A（2，3），
B（2，1）,C（6, 2），
以点O为位似中心，相似
比为2，将△ABC放大，
观察对应顶点坐标的变
化，你有什么发现？
A
B
C
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）；
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）．
4 6 4 2 12 4
－4 －6 －4 －2 －4－12
A'
B'
C'
A"
B"
C"
y
x
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在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
归纳：
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2
4
6
8
2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-2-4-6-8 O 9101112-9-10-12
1. 如图，△ABC三个顶点坐标
分别为A（2，－2），B（4，
－5），C（5，－2），以原
点O为位似中心，将这个三角
形放大为原来的2倍．
A
B
C
解：
A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），4 － 4 － 108 －410
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）.4－ 4 － 8 10 －10 4
A'
B '
C '
A"
B"
C"
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2.至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转
和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中，
你能找到这些变换吗？
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图形左右移动时，对应的横坐标左减右加，纵坐标不变.
图形上下移动时，对应的横坐标不变,纵坐标上加下减.
对应点关于x轴对称.即对应点的横坐标相等、纵坐标互为相
反数.
对应点关于 y 轴对称.即对应点的横坐标互为相反数、纵坐标
相等.
规律：对应点关于原点对称.即对应点的横坐标和纵坐标都互
为相反数.
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
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复习和小结
第23章 图形的相似
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相似图形
位似图形
相似多边形
相似三角形
对应角相等
对应边的比相等
周长比等于相似比面
积比等于相似比平方 应
用
相似三角形的判定
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1. 类似于全等，相似也是图形之间的一种特殊关系，与平
移、轴对称、旋转一样，位似也是图形的一种基本变换．在
本章，我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、
位似的一些知识．
相似图形一
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2. 相似多边形有哪些性质？
相似多边形对应对角线的比和周长的比都等于相似比，
相似多边形的对应边成比例，对应角相等．
两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行或在
一条直线上，位似图形是特殊的相似图形．
位似图形呢？
面积的比等于相似比的平方，
以相似多边形三个对应顶点为顶点的对应三角形相似．
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O A
B
CD
E
A'
B'
C'D'
E'
例如，把图中的多边形ABCDE放大1.8倍.
4. 连接A'B'、B'C'、· · ·，得多边形
A'B'C'D'E'
1. 任取一个点O
2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、· · ·
3. 分别在射线OA、OB、OC、· · ·上取点A'、B'、C'、···
，使OA'：OA=OB': OB = OC': OC = · · · =1.8
利用位似将图形放大或缩小二
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判定两个三角形相似的方法有：
（1）三角形相似的定义；
（2）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的
延长线）相交构成的三角形与原三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（5）三边对应成比例，两三角形相似．
（4）两角对应相等，两三角形相似；
判定两个三角形相似三
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（6）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形．两个三角形
相似的判定与性质与三角形全等的判定与性质相类似，后者
是前者的特例，判定两个三角形相似和研究相似三角形时，
同样要注意角，边的对应关系．
除上面方法外，还有下面的方法．
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例如用相似测物体的高度
A B C
E
D
1.6m 8.4m
1.2m
测山高 测楼高
相似三角形的应用四
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测内孔直径
A
B D
E F
G H
求最大值与最小值
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到现在为止，我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位
似等变换，你能说出它们之间的异同吗？举出一些它们的实
际应用的例子，并结合以上内容，体会从运动的角度研究图
形的方法．
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1. △ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的△DEF的
最小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长．
解：∵ △ABC∽ △DEF，
设△DEF另两边分别为x, y，
则
x = 36，
y = 39， ∴周长为15+36+39=90.
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2. 根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，
并求出x和y的值
F
G H
J
I
3 5 6
8
y
x 1 2
∠1=∠2
解：
（1）
∠1=∠2
∠HGF = ∠JIH=90°
∴△FGH∽△JIH
则有
x = 4
y = 10
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3. 如图，AB、CD相交于点O，AC//BD，求证OA·OD＝OB·OC.
A
B
C
D
O
证明： ∵AC//BD
∴△DOB∽△COA
∴OA·OD＝OB · OC
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4. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，
然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球
落地点离墙的距离是6m，假设球反弹后沿直线运动，球能碰
到墙面离地多高的地方？
A
B O
C
D2m 6m
1.8m
解：∠ABO=∠CDO=90°
∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD
∴ CD=5.4m
答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方．
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相似三角形：如果两个三角形对应角相等，对应边成比例，
那么这两个三角形叫做相似三角形.
相似比：三角形对应边的比为k，叫做相似比（或叫做相似系数）.
（5）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
判定两个三角形相似的方法有：
（1）三角形相似的定义；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（4）三边对应成比例，两三角形相似;
（3）两角对应相等，两三角形相似；
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相似多边形的性质：
2）相似多边形对应对角线的比和周长的比都等于相似比，
1）相似多边形的对应边成比例，对应角相等．
3）面积的比等于相似比的平方，
4）以相似多边形三个对应顶点为顶点的对应三角形相似．
相似多边形应用
构建两个图形相似模型，寻找对应边成比例（或对应角
相等），解决实际问题．重点是构建两个三角形相似．
两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行是
位似图形，位似图形是相似图形．
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