资料简介
3.1 比例线段
第3章 图形的相似
3.1.1 比例的基本性质
湘教版九年级数学上册教学课件
1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解
决一些实际问题.（难点）
学习目标
导入新课
观察与思考
如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是
由(1)缩小得到的.
（1） （2）
P
Q
P′
Q′
在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ， B在照片
(2)找出对应的两个点P′，Q′，A ′, B ′量出线段PQ，
P′Q′，AB， A′B′的长度.计算它们的长度的比值.
A A´
B´B
讲授新课
比例的基本性质一
合作探究
问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即 那么
ad = bc吗？反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成
比例吗？
如果四个数a,b,c,d成比例，即
那么ad=bc吗？
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 ，那么 ad=bc.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 .
如果ad=bc,那么等式 还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而
在分式中，分母不能为0.
典例精析
例1 已知四个数a，b，c，d成比例，即 .
下列各式成立吗？若成立，请说明理由.
①
②
④
③
由此得到
解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，
因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.
由①式得 ad=bc.
在上式两边同除以cd，得
在①式两边都加上1，得
例2：根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ； （2）
（2）∵ ，∴8a=7b，∴
解 （1）∵ 4a=5b，∴
例3：已知 ，求 的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得 2（a+3b）=7×2b.
∴a=4b，∴ = 4.
解法2：由 ，得 .
∴ ,
，那么 、 各等于多少？2．已知
1．已知： 线段a、b、c满足关系式
且b＝4，那么ac＝______．
，
练一练
16
问题2：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果
（b+d+f≠0）,那么 成立吗？为什么？
设 ,则
a = kb, c = kd , e= kf .
所以
等比性质（拓展）二
由此可得到比例的又一性质：
例3：在△ABC与△DEF中，已知 ，
且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵
∴
∴4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD).
即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ，
又 △ABC的周长为18cm，
即 AB+BC+CA=18cm.
∴ △DEF的周长为24cm.
例4：若a，b，c都是不等于零的数，且
，求k的值.
得 ，
则k＝＝2；
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时
综上所述，k的值是2或－1.
解：当a＋b＋c≠0时，由 ，
1.(1)已知 ，那么 = ， = .
(3)如果 ，那么 .
(2)如果 那么 .
当堂练习
2.2.已知四个数已知四个数aa，，bb，，cc，，dd成比例成比例..
（（11）若）若aa=-3=-3，，bb=9=9，，cc=2=2，求，求dd；；
（（22）若）若aa=-3=-3，，bb= = ，，cc=2=2，求，求d..
比例的性质
如果 那么 ad = bc
基本性质
等比性质
如果ad = bc（a , b, c, d）都不等于0，那么
课堂小结
3.1 比例线段
第3章 图形的相似
3.1.2 成比例线段
湘教版九年级数学上册教学课件
1.理解线段的比与成比例线段的关系；
（重点、难点）
2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点)
学习目标
两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？
导入新课
线段的比和成比例线段 一
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度
分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
A B C D
m n
AB:CD= m : n 或
如果把 表示成比值k,那么 =k，或AB=k ·
CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
讲授新课
1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则 .
2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则 .
思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关
？ 有
关？？
无
关？？
求两条线段的比时，所使用的长度单位
应该统一
在对长度单位进行统一时，无论采用哪一
种单位，比值都相同.
注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提
下进行，但比值却是一个不带单位的正数.
练一练
4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB
＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝ .
A
B
C D
E
A'
B'
C' D'
E'
5∶3
3.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比为
，AB∶A'B'的比值为 ，AB＝ A'B'.4∶1 4 4
练一练
做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形
EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长
度分别是多少？
A B
C
D
G
H
E F
计算 的值，你发现了什么？
A B
C
D
G
H
E F
四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比
例线段.
归纳总结
AB，EF，AD，EH是成比例线段，
AB，AD，EF，EH也是成比例线段.
注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！
如果 或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即
a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项.
相关概念
例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝0.8cm，b＝2cm，c＝5cm，d＝10cm；
解： （1）∵
∴ 线段a、b、c、d 是成比例线段．
，
∴ ，
典例精析
（2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2） ∵
∴
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
注意:
1.若a:b=k , 说明a是b的 k 倍；
2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但
求比时两条线段的长度单位必须一致；
3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
4.除了a=b外,a:b≠b:a, 互为倒数.
1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么
？ 成比例线段
不成比例线段
2.下列各组线段中成比例线段的是 （ ）C
练一练
解：根据题意可知,AB=am, AE= a m,AD=1m .
由 ，得
即 开平方,得
例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中
所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出
的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
即 ，那么a的值应当是多少？
D
A
F
E
C
B
黄金分割的概念二
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离, 与 相等吗？
A C B A BC
A BC
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄
金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
概念学习
1.计算黄金比.
解：由 ，得AC2 = AB·BC.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1= x2=
黄金比
做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
A B
D
E
C
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F C
A E B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所
示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作
正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ，
点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的
比是黄金比吗？为什么?
点E是AB的黄金分割点
（即 ）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
A B
CD
E
F
例3：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金
分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈
脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为
1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的
一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长
为20 cm，则它的宽约为( )
(A)12.36 cm (B)13.6 cm
(C)32.36 cm (D)7.64 cm
【解析】选A. 0.618×20=12.36(cm).
A
练一练
2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似
于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为
_____cm.（结果精确到0.1 cm）
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意
知
∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2 cm.
6.2
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端
点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的
黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，
则AC=______cm，DC=_______cm.
【解析】由黄金分割定义可知，
AC=BD= ×AB=(40 -40)cm,
AD=AB-BD=(120-40 ) cm,
所以DC=AC-AD=(80 -160) cm.
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北
纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在
安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起
许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的
黄山，庐山，九寨沟等等。
衔远山，吞长江的中国三大
淡水湖也恰好在这黄金分割
的纬度上。
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和
主叶脉的长度之和比
约为0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的
宽与长之比也接近0.618;
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，
有时还是医疗效果黄金点，许多民间
名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。
人体最感舒适的温度是23℃(体温)，
也 是 正 常 人 体 温 (37℃)的 黄 金 点
(23=37×0.618).这说明医学与0.618
有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体
还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金
点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在
膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与
下肢长度之比均近似0.618.
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起
来就越美．
B
C
A
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但
这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高
468米.设计师在263米处
设计了一个球体，使平直
单调的塔身变得丰富多彩，
非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯
干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个
部位都暗藏比例0.618，虽然
雕像残缺，却能仍让人叹服她
不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，
而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里
面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽
的比为（ ）
A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3
2.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的
比例尺为（ ）
A.5:1 B. 1:5 C.1:500000 D.500000:1
A
C
3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设
以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩
形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1
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