资料简介
第5章 对函数的再探索
5.5 确定二次函数的表达式
学习目标
• 1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）
• 2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较
简便的求出二次函数表达式。（难点）
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为
(x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么
形式?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
例 题 选 讲
解：
所以设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-6
由条件得：点( 2 , 3 )在抛物线上，
代入上式，得
3=a（2+1）2-6, 得 a=1
所以这个抛物线表达式为 y=(x＋1)2-6
即：y=x2+2x－5
一般式：
y=ax2+bx+c
交点式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
例 1
例题封面
因为二次函数图像的顶点坐标是（－1，－6），
已知抛物线的顶点为（－1，－6），并且图像经
过点（2，3）求抛物线的表达式？
一般式：
y=ax2+bx+c
交点式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
将A、B、C三点坐标代入，得
a-b+c=6
16a+4b+c=6
9a+3b+c=2
解得：
所以这个二次函数表达式为：
a=1,
b=-3,
c=2
y=x2-3x+2
已知点A（－1,6）、B（4,6）和C（3,2），
求经过这三点的二次函数表达式。
例 2
例题封面
解：
所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）
由条件得：
已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的表达式？
y
o
x
点M( 0,1 )在抛物线上
所以a(0+1)(0-1)=1
得 a=-1
故所求的抛物线表达式为 y=- (x＋1)(x-1)
即y=－x2+1
一般式：
y=ax2+bx+c
交点式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
例题
例 3
封面
因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点 ：
例4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为
直线x=3，求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3，
∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k。
∵图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k
0=a(5-3)2+k
解得：a= 1 k=-4
∴ 二次函数的表达式为y= (x-3)2-4
即y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时
优先选用顶点式。
例5. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值
4，试确定这个二次函数的解析式。
解法1：（利用一般式）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0)
由题意知 16a+4b+c = -3
-b/2a = 3
(4ac-b2)/4a = 4
解方程组，得
a= -7
b= 42
c= -59
∴ 二次函数的解析式为y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式）
∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐
标为(3,4)
设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4
∵ 函数图象过点（4，- 3）
∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3
∴ a= -7
∴ 二次函数的解析式为：
y= -7(x-3)2+4
选择最优解法，求下列二次函数解析式：
1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物
线解析式为__________.
2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(1,4) ,设抛物线
解析式为____________.
3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)，设抛
物线解析式为_________.
4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，
设抛物线解析式为________.
5、已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(1，0)，且经过点(2,
-3),设抛物线解析式为_______.
做一做
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(-1，0)， (3，0) ，（0,
3）。
小组探究
1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、（-1,10）两点，求二次函
数的表达式。
2、已知二次函数极值为2，且过（3，1）、
（-1,1）两点，求二次函数的表达式。
解：设y=a(x-2)2-k
解：设y=a(x-h)2+2
例 题 选 讲
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的表达式．
例 6
设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c，解：
根据题意可知
抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元
一次方程组，求出a、
b、c的值，从而确定
函数的解析式．
过程较繁杂，
评价
封面 练习
例 题 选 讲
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的表达式．
例 4
设抛物线为y=a(x-20)2＋16 解：
根据题意可知
∵ 点(0，0)在抛物线上，
通过利用条件中的顶
点和过原点选用顶点
式求解，方法比较灵
活
评价
∴ 所求抛物线表达式为
封面 练习
例 题 选 讲
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的表达式．
例6
设抛物线为y=ax(x-40 ）解：
根据题意可知
∵ 点(20，16)在抛物线上，
选用两根式求解，
方法灵活巧妙，过
程也较简捷
评价
封面 练习
课 堂 小 结
求二次函数表达式的一般方法：
. 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
. 已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值
通常选择顶点式
. 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择交点式。
y
x
o
封面
确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式。
1、 求二次函数的解析式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
2、求二次函数解析式得常用方法：
（1）已知图象上三点或三点的对应值，通常选择
一般式.
（2）已知图像的顶点坐标或对称轴和最值，通常
选择顶点式.
（3）已知图像与x轴两个交点坐标，通常选择交点
式 .
小结
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出适合的函数表达式；
2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于
待定系数的方程或方程组；
3、 解方程（组）求出待定系数的值；
4、 写出一般表达式。
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