资料简介
8 圆内接正多边形
【知识再现】
正多边形：_______________，_______________的多边
形叫正多边形.
各边都相等 内角都相等
【新知预习】
阅读教材P97，解决以下问题：
正多边形与圆的关系：
【探究一】等分圆周，依次连接各个分点，得到圆内
接多边形是正多边形吗？为什么？
这个圆叫做这个正多边形的___________.这个多边形叫
做圆内接正多边形.
外接圆
【探究二】应用等分圆周的方法作正多边形：
1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧_________，
把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内
接正n边形.
相等
2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角
是_________，所以在圆内依次截取等于_________的
弦，可以把圆六等分，依次连接各个分点，得到_____
_______，间隔连接，得到_____________；
(2)作两条互相_________的直径，可以将圆四等分，
依次连接各个分点，可以得到正方形.
60° 半径
正六
边形 正三角形
垂直
归纳：
1.圆内接正多边形的相关概念
(1)圆内接正多边形：顶点都在_____________的正多
边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的
___________.
同一圆上
外接圆
(2)中心：正多边形的_________________叫做正多边
形的中心.
(3)半径：正多边形的_________________叫做正多边形
的半径.
外接圆的圆心
外接圆的半径
(4)边心距：中心到正多边形的一边的_________叫做正
多边形的边心距.
(5)中心角：正多边形的每一边所对的___________的圆
心角叫做正多边形的中心角.
距离
外接圆
2.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为_______.
(2)正n边形的每一个内角= .
(3)正n边形的每一个外角= .
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.下列多边形中，是正多边形的是 ( )
A.菱形 B.矩形
C.等腰梯形 D.正六边形
D
2.圆的两条弦AB，AC分别是它的内接正三角形与内接正
五边形的边长，则∠BAC等于 ( )
A.24°或84° B.54°
C.32°或72° D.36°
A
3.正多边形的中心角为72°的是正_______边形；正多
边形的中心角等于其内角的是正_______边形.
4.已知正六边形的周长为30，那么正六边形的半径为
______.
五
四
5
知识点一 圆内接正多边形的概念及计算(P97例拓展)
【典例1】(2019·丰城市期中)如图，
已知正三角形ABC内接于☉O，AD是
☉O的内接正十二边形的一条边
长，连接CD，若CD=6 cm，求☉O的半径.
【规范解答】连接OA，OD，OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于☉O，AD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC= ×360°=120°，
∠AOD= ×360°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=90°，
∵OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=OD= CD= ×6 =6(cm)，
即☉O的半径为6 cm.
【题组训练】
1.(2019·扬州一模)☉O是一个正n边形的外接圆，若
☉O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为
( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
★2.(2019·无锡锡山区期中)若正方形的外接圆半径
为2，则其内切圆半径为____.
★★3.(2019·徐州鼓楼区模拟)正六边形的周长为12，
则它的外接圆的内接正三角形的周长为 ( )
A.2 B.3 C.6 D.6
C
★★4.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6 cm，
求这个正六边形的外接圆半径R，边心距r，面积S.
解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=6，即R=6，
∵OA=OB=6，OG⊥AB，
∴AG= AB= ×6=3(cm)，
∴在Rt△AOG中，r=OG= cm，
∴S= ×6×3 ×6=54 (cm2).
【我要做学霸】
正多边形的有关计算的“三个步骤”
1.分解：把正n边形分成_______个全等的直角三角形.
2.转化：把正n边形的各个元素放到一个_________三角
形中
3.计算：利用_______________的性质解答.
2n
直角
直角三角形
知识点二 正多边形的作法及应用(P98“做一做”拓展
)
【典例2】如图，已知☉O，用尺规作☉O的内接正四边
形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把
作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【思路点拨】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂
线交☉O于点B，D，连接AB，AD，BC，CD就得圆内接正
四边形ABCD.
【自主解答】
如图所示，四边形ABCD即为所求：
【学霸提醒】
作正多边形的方法
1.用量角器度量等分圆周作正多边形.
2.用尺规等分圆周作正多边形.
【题组训练】
1.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示
的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的
个数为 ( )
A.10 B.9
C.8 D.7
D
★2.(易错警示题)尺规作图特有的魅力曾
使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿
破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等
分.例如可将圆6等分，如图只需在☉O上任取点A，从点
A开始，以☉O的半径为半径，在☉O上依次截取点B，C，
D，E，F.从而点A，B，C，D，E，F把☉O六等分.下列
可以只用圆规等分的是 ( )
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分
A.② B.①②
C.①②③ D.①②③④
C
★3.如图所示，菱形花坛ABCD的边长为6 m，∠B=60°，
其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分
的图形的周长(粗线部分)为 ( )
A.12 m B.20 m
C.22 m D.24 m
B
★4.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算
术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐
步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用
圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=
.(结果保留根号)
★★5.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学
设计了一个画圆内接正三角形的方法：世纪金榜导学
号
(1)如图，作直径AD.
(2)作半径OD的垂直平分线，
交☉O于B，C两点.
(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你
按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出
△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明
理由.
解：两位同学的作法正确.连接BO，CO，
∵BC垂直平分OD，
∴直角△OEB中，cos∠BOE= ，
∴∠BOE=60°.由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，由于
AD为直径，
∴∠AOB=∠AOC=120°，
∴AB=BC=CA，
即△ABC为等边三角形.
【火眼金睛】
线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周
角的度数是_______.
正解：如图，圆内接正十边形的边AB所对的圆心角
∠1=36°，
当圆周角的顶点在优弧 上时，AB所对的圆周角为
18°.
当圆周角的顶点在劣弧 上时，AB所对的圆周角为
180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
【一题多变】
已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六
边形的边心距是 ( )
A.2 B.1 C. D.
B
【一题多变】
已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六
边形的边心距是 ( )
A.2 B.1 C. D.
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)一个正四边形的外接圆
半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是 ( )B
【变式二】(变换条件和问法)等边三角形的内切圆半
径，外接圆半径和高的比是 ( )
A.1∶2∶ B.2∶3∶4
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
D
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