资料简介
4 角平分线
第2课时
【知识再现】
1.角平分线的性质定理:角的平分线上的点到_______
___________相等.
2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边
_____________的点,在这个角的_____________上.
角两
边的距离
距离相等 角平分线
【新知预习】 阅读教材P30-31,回答以下问题.
探究1:作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么?
发现:(1)三角形的三个内角的角平分线交于_______;
(2)这个交点到三角形_________的距离相等.
一点
三边
探究2:尝试证明上述结论
已知:如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证:P点在∠BAC的平分线上.
证明:过P点作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,其中点D,E,F是
垂足.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(_______________________
_____________________).
同理:__________.∴PD=PF.
角平分线上的点到这个
角的两边的距离相等
PE=PF
∴点P在∠BAC的平分线上(_______________________
______________________________________).
另外易证:PD=PE=PF.
在一个角的内部,且到角
两边距离相等的点,在这个角的平分线上
归纳:三角形角平分线性质定理:三角形的三条角平分
线相交于_________,并且这一点到_______________
相等.
一点 三条边的距离
探究3:比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线
的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三
角
形
锐角三角形 交于三角形_______一点
交于三角形
_______一点 钝角三角形 交于三角形_______一点
直角三角形 交于斜边的_________
交点性质 到三角形_____________的
距离相等
到三角形_____
____的距离相等
内
外
中点
内
三个顶点 三
边
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,
∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是
( )D
A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC三边的距离一定相等
D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等
2.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪
三边的距离相等,凉亭的位置应选在 ( )
A.三角形的三条中线的交点处
B.三角形的三边的垂直平分线的交点处
C.三角形的三条角平分线的交点处
D.三角形的三条高所在直线的交点处
C
3.如图,点P是∠AOB的平分线上一点,过点P作PC∥OA交
OB于点C,若OC=2,P到OA的距离PD等于 ,则OP等于
_________. 2
知识点 三角形三个角的平分线的性质
(P30例2拓展)
【典例】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,
AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于
D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
【规范解答】连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,
∴OE=OD=OF, …………三角形角平分线的性质
设OE=OF=OD=R,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,
由勾股定理得:AC=6, …………勾股定理
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
………………………………全量等于分量的和
∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF,
……………………三角形的面积公式
∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, …………解方程
∴OD的长为2.
【学霸提醒】
1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的
连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三
角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出
交点到三边的距离.
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找
线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来
求解.
【题组训练】
1.如图,O是△ABC的角平分线的交点,△ABC的面积为2,
周长为4,则点O到BC的距离为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
A
★2.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,
DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为40和28,则△EDF的
面积为 ( )
A.12 B.6
C.7 D.8
B
★★3.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连
接AD.世纪金榜导学号
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD=
.
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求
S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的代数式表示).
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,
如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= .
解:(1)过点A作AE⊥BC于点E,
∵点D是BC边上的中点,
∴BD=DC,
∴S△ABD∶S△ACD
答案:1∶1 (2)(3)略
【火眼金睛】
如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上一点,AE=AB,
DB=DE.
求证:AD是△ABC的角平分线.
正解:在△ADE与△ADB中,
AE=AB,DE=DB,AD=AD,
∴△ADE≌△ADB(SSS),
∴∠EAD=∠BAD,∴AD是△ABC的角平分线.
【一题多变】
如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条
角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO
∶S△CAO等于 ( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
C
【母题变式】
【变式一】(变换条件、问法)已知,在△ABC中,
∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,
OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F是垂足,且AB=10,BC=8,则点O
到三边AB,AC和BC的距离分别是世纪金榜导学号
( )A
A.2,2,2 B.3,3,3
C.4,4,4 D.2,3,5
【变式二】(变换条件、问法)如图,已知△ABC的周长
是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且
OD=4,△ABC的面积是 ( )
A.25 B.84
C.42 D.21
C
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