资料简介
2 直角三角形
第1课时
【知识再现】
1.三角形的分类:锐角三角形,_________三角形,
_________三角形.
2.直角三角形定义:有一个内角是_________的三角形
叫直角三角形.
直角
钝角
直角
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所
对的直角边等于斜边的_________. 一半
【新知预习】 阅读教材P14-16,回答下列问题
1.直角三角形的性质
(1)角:直角三角形的两个锐角_________.
(2)边:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的
_________.
互余
平方
2.直角三角形的判定
问题1:勾股定理:直角三角形_____________________
等于_______________;
它的条件:如果一个三角形是直角三角形;
结论:那么它两条直角边的平方和等于斜边的平方.
两条直角边的平方和
斜边的平方
将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件,其内容
是:
如果___________________________________,那么___
_____________________.
三角形两边的平方和等于第三边的平方 这
个三角形是直角三角形
问题2:证明上述命题:
已知:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.
求证:△ABC是直角三角形.
得出定理:如果三角形两边的___________等于第三边
的_________,那么这个三角形是直角三角形.
平方和
平方
3.互逆命题、逆定理
互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论
分别是另一个命题的_______________,那么这两个命
题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命
题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.
结论和条件
互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是_______
_____,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.
其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
真命
题
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·重庆九龙坡区期中)如图,AC⊥BD,∠1=∠2,
∠D=40°,则∠BAD的度数是 ( )C
A.85° B.90°
C.95° D.100°
2.下列命题:
①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
②若a>b,则ac2>bc2;
③全等三角形对应角相等;
④直角三角形两锐角互余.
其中原命题与逆命题均为真命题的是 ( )B
A.①②④ B.①④
C.③④ D.④
3.(2019·北京延庆区期末)直角三角形中,一个锐角等
于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________. 30°
知识点一 直角三角形的性质
【典例1】已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰
AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm. 世纪金榜导学号
(1)求证:CD⊥AB.
(2)求该三角形的腰的长度.
【规范解答】(1)∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,
∴BD2+CD2=122+162=400,BC2= 400, ……数的运算
∴BD2+CD2=BC2, …………等量代换
∴∠BDC=90°, …………勾股定理逆定理
即CD⊥AB. …………垂直定义
(2)设腰长为x cm,则AD=x-12,
由勾股定理得AD2+CD2=AC2,
即:(x-12)2+162=x2, …………列方程
解得x= , …………方程的解法
∴腰长为 cm.
【学霸提醒】
直角三角形的性质
(1)在求角度时,用到直角三角形两锐角互余,有时利用
角平分线或者折叠转化角度.
(2)利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边,利用面
积相等可以求出斜边上的高;有时结合方程思想解决问
题.
【题组训练】
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一
个锐角的度数是 ( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
C
★2.(2019·惠州惠城区期末)如图,正方形面积是
( )
A.16 B.8 C.4 D.2
B
★3.(2019·武汉东西湖区期末)在正方形ABCD中,E是
CD上的点.若BE=30,CE=10,求正方形ABCD的面积和对角
线长.
解:连接BD.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠C=90°.
在Rt△BCE中,由勾股定理得:
BC2=BE2-CE2=302-102=800.
在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD2=BC2+CD2=800+800=
1 600,
∴BD=40,
∴S正方形ABCD=BC2=800.
★★4.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12 cm,
BC=5 cm,AB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D. 世纪金
榜导学号
(1)找出图中相等的锐角,并说明理由.
(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.
解:(1)∵CD⊥AB(已知),
∴∠CDA=90°,
∴∠A+∠1=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠A=∠2(同角的余角相等).
同理可得,∠1=∠B.
(2)点A到直线BC的距离为12 cm.
点C到直线AB的距离为线段CD的长度.
S△ABC= AC×BC= AB×CD.
∵AC=12 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,代入上式,解得CD=
cm.
知识点二 勾股定理逆定理的应用
【典例2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式
(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,求△ABC的面积.
【规范解答】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,
∴a-5=0,b-12=0,c-13=0, …………非负数的性质
∴a=5,b=12,c=13, …………解一元一次方程
∵52=25,122=144,132=169. …………平方数
∴52+122=132,即a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形,a,b为直角边,c为斜边. 勾股定
理逆定理
∴S△ABC= ab= ×5×12=30.
…………直角三角形的面积公式
【学霸提醒】
由三边判定直角三角形的“三步法”
1.确定:确定三角形的最大边.
2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和.
3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状.
【题组训练】
1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
( )
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
A
★2.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角
形最长边上的中线长为 ( )
A.3.6 B.4
C.4.8 D.5
D
★3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三
角形的形状是_________三角形. 世纪金榜导学号 直角
★★4.如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,
请你根据所学的知识,判断△ABC是什么形状?并说明理
由.
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
AB2=32+22=13;AC2=82+12=65;
BC2=62+42=52;∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
知识点三 互逆命题以及互逆定理
【典例3】下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”
成为互逆定理的是 ( )
A.同旁内角不互补,两直线平行
B.同旁内角不互补,两直线不平行
C
C.两直线平行,同旁内角互补
D.两直线不平行,同旁内角不互补
【题组训练】
1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 ( )
A.互为逆命题 B.互逆定理
C.公理 D.假命题
A
★2.指出下列命题的逆命题能否成为逆定理:
(1)如果a=b,那么a2=b2.
(2)如果三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个
内角一定是锐角.
(3)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边
也相等.
解:(1)逆命题是:如果a2=b2,那么a=b是假命题,故不能
成为逆定理.
(2)逆命题是:如果一个三角形的两个内角是锐角,那么
三角形另一个角是钝角,是假命题,故不能成为逆定理.
(3)逆命题是:如果一个三角形有两条边相等,那么这两
条边所对的两个角相等,是真命题,能成为逆定理.
【火眼金睛】
在Rt△ABC中,BC=3,AB=4,求AC的长.
正解:∵Rt△ABC中,BC=3,AB=4,
∴当AC为斜边时:AC= =5,
当AB为斜边时:AC= ,
故AC的长为5或 .
【一题多变】
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.
求四边形ABCD的面积.
解:连接AC,
∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2 ,
∵AD=1,CD=3,
∴AD2+AC2=12+(2 )2=9,CD2=9,
∴AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,
在Rt△ABC中,S△ABC= BC·AB= ×2×2=2,
在Rt△ADC中,S△ADC= AD·AC= ×1×2 = ,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ .
【母题变式】
如图,网格中每个小正方形的边长都是1,且A,B,C,D都
在格点上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)求∠ABC的度数.
略
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