资料简介
3 简单的轴对称图形
第2课时
【知识再现】
1.线段是轴对称图形,角是___________图形
2.点A到点B的距离是___________的长
3.点A到直线l的距离是过点A作l的垂线,所得________
的长
轴对称
段线AB
垂线段
【新知预习】阅读教材P123-P126,解决以下问题:
1.(1)画一条线段AB,然后对折AB,使A,B两点重合;
(2)在折痕上任取一点,测量这个点到点A和点B的距离.
你发现的规律:
①线段是___________图形,垂直并且平分线段的直线
是它的一条对称轴.
②线段的垂直平分线是垂直且_________这条线段的一
条_________.
③线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的距离_________.
轴对称
平分
直线
相等
2.(1)任画出∠AOB,将这个角对折,折痕就是∠AOB的
平分线;
(2)在∠AOB的平分线上任取一点,作出这个点到角两
边的垂线.
你发现的规律:
①角是___________图形,_____________所在的直线是
它的对称轴.
②角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边
的距离_________.
轴对称 角平分线
相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.已知OP是∠MON的平分线,且点A在OP上,下图中线段
AB和AC一定相等的是( )C
2.如图,AB是△ABC的一条边,DE是AB的垂直平分线,垂
足为E,并交BC于点D,已知AB=8 cm,BD=6 cm,那么EA=
_________,DA=_________. 4 cm 6 cm
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,
点D到AB的距离为5 cm,则CD=_________. 5 cm
知识点一 线段的垂直平分线的性质
【典例1】如图所示,MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周长为12,求BC的长.
(2)∠BAC=105°,求∠PAQ的度数.
【尝试解答】(1)因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所
以AP=_______,AQ=_______,
………………线段垂直平分线的性质
BP CQ
所以△APQ的周长=AP+PQ+AQ …………周长定义
=_______+PQ+_____ …………等量代换
=_______. …………线段的和
因为△APQ的周长为12,所以BC=12.
………………等量代换
BP CQ
BC
(2)因为AP=BP,AQ=CQ,
所以∠B=__________,∠C=__________,
……………………等边对等角
因为∠BAC=105°,
∠BAP ∠CAQ
所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C …………等量代换
=__________-∠BAC
……………………三角形内角和等于180°
=__________-105° …………等量代换
=_________,
180°
180°
75°
所以∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)
………………角的差的定义
=105°-75° ………………等量代换
=30°.
【学霸提醒】
1.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
2.等边对等角的性质.
3.三角形的内角和是180°.
【题组训练】
1.如图,已知AB是CD的垂直平分线,下列结论:①CO=
DO;②AO=BO;③AB⊥CD;④CB=BD.正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
★2.(2019·梧州中考)如图,DE是△ABC的边AB的垂直
平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC
的周长是 ( )
A.12 B.13
C.14 D.15
B
★3.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直
平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD=_______度. 35
★★4.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.
世纪金榜导学号
(1)AB,AC,CE的长度有什么关系?为什么?
(2)AB+BD与DE有什么关系?为什么?
解:(1)结论:AB=AC=CE.
理由:因为AD⊥BC,BD=DC,所以AB=AC.
因为点C在AE的垂直平分线上,所以AC=CE,所以AB
=AC=CE.
(2)结论:AB+BD=DE.
理由:因为AB=AC=CE,BD=CD,所以AB+BD=CE+CD,所以
AB+BD=DE.
知识点二 角平分线的性质
【典例2】如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)作∠BAC的平分线AD,交BC于点D.
(2)若AB=10 cm,CD=4 cm,求△ABD的面积.
【尝试解答】(1)如图所示,
AD即为所求;
………………角平分线作法
(2)如(1)中图,过点D作DE⊥AB于点E,
………………辅助线作法
因为AD平分∠BAC, ………………已作
所以DE=_______=_________,
………………角平分线性质
CD 4 cm
所以 _______×_______
………………三角形面积公式
= ×10×4 ………………等量代换
=20(cm2).
AB DE
【学霸提醒】
1.掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解
题的关键.
2.会从复杂图形中找出基本图形:
线段垂直平分线性质基本图形——伞图.
角平分线性质的基本图形——鱼图.
【题组训练】
1.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分
别是点C,D,则下列结论错误的是 ( )
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
B
★2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所
示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是 ( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
★3.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分
∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于
( )
A.10 B.7
C.5 D.4
C
★★4.如图,AD是△ABC的角平分线,AB∶AC=3∶2,
△ABD的面积为15,则△ACD的面积为_______.世纪金榜
导学号
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【火眼金睛】
如图,已知P点是∠AOB平分线上的一点,过点P的直线
与OA,OB分别交于点C,D,则PC,PD相等吗?
【正解】PC不一定等于PD,因为PC,PD不是P到OA,OB的
距离,所以PC≠PD.仅当OC=OD时PC=PD,所以PC不一定
等于PD.
【一题多变】
如图①,将笔记本活页一角折过去,使角的顶点A落
在A′处,BC为折痕.
(1)图①中,若∠1=30°,求∠A′BD的度数.
(2)如果又将活页的另一角斜折过去,使BD边与BA′重
合,折痕为BE,如图②所示,∠1=30°,求∠2以及∠CBE
的度数.
(3)如果在图②中改变∠1的大小,则BA′的位置也随
之改变,那么问题(2)中∠CBE的大小是否改变?请说明
理由.
解:(1)因为∠1=30°,所以∠1=∠ABC=30°,
所以∠A′BD=180°-30°-30°=120°.
(2)因为∠A′BD=120°,∠2=∠DBE,
所以∠2= ∠A′BD=60°,
所以∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°.
(3)结论:∠CBE不变.
因为∠1= ∠ABA′,∠2= ∠A′BD,∠ABA′+
∠A′BD=180°,
所以∠1+∠2= ∠ABA′+ ∠A′BD
= (∠ABA′+∠A′BD)= ×180°=90°.
即∠CBE=90°.
【母题变式】
【变式一】如图,长方形纸片ABCD,点E,F分别在边
AB,CD上,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的
B′处,得到折痕EC,将角A向上折起使点A落在直线EF
上的点A′处,得到折痕EN.
(1)若∠BEB′=110°,则∠BEC=____°,∠AEN=____°,
∠BEC+∠AEN=________°.
(2)若∠BEB′=m°,则(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改
变?请说明你的理由.
(3)将∠ECF对折,点E刚好落在F处,且折痕与B′C重合,
求∠DNA′.
解:(1)由折叠的性质可得,∠BEC=∠B′EC,∠AEN=∠A′EN,
因为∠BEB′=
110°,
所以∠AEA′=180°-110°=70°,
所以∠BEC=∠B′EC= ∠BEB′=55°,
∠AEN=∠A′EN= ∠AEA′=35°.
所以∠BEC+∠AEN=55°+35°=90°.
答案:55 35 90
(2)略
(3)略
【变式二】图形在折叠过程中会形成相等的边和相等
的角,下面是同学们在数学课上所做的三角形、四边
形折叠试验,请根据试验过程解决问题:
问题(一)
如图①,一张三角形ABC纸片,点D,E分别是△ABC边上
两点.
研究(1):如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则
∠BDA′和∠A的数量关系是________;
研究(2):如果折成图②的形状,猜想∠BDA′,∠CEA′
和∠A的数量关系,并说明理由.
问题(二)
研究(3):将问题(一)推广,如图③,将四边形ABCD纸片
沿EF折叠,使点A,B落在四边形EFCD的内部时,∠1+∠2
与∠A,∠B之间的数量关系是________.(直接写出结
论)
解:略
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