资料简介
上节知识回顾
柱、锥、台的表面积和体积公式
都可以有台体的表面积和体积特殊化得到
棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何
体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面
积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
h'
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧
面展开图是什么 ．
O
O
’
圆台的侧面展开图是扇环 S侧
S侧=
三者之间关系
O
O
’
OO
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关
系？这种关系是巧合还是存在必然联系？
r’＝r r’＝0
• 棱柱、棱锥和棱台的体积公式：
v=
当s=s‘时为柱体体积公式v=sh.
当s ‘ =0为锥体体积公式v=
怎样求球的体积?
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
H
小
球
的
体
积
等
于
它
排
开
液
体
的
体
积
实验：排液法测小球的体积
曹冲称象
假设将圆n等分，则n=6
n=12
A1 A2
O
A2A1
An
O
p
A3
回顾圆面积公式的推导
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所
谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，
就达到了“割之又割，以至于不可再割，则
与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的
“极限”思想。
了解：
已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A
O B2
C2
2.球的体积
A
O
O
R
O
A
球的体积
定理:半径是R的球的体积
注：推导过程不要求，只需了解
R
高等于底面半径的旋转体体积对比
阅读材料以及思考题
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
8倍
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
钢球直径是5cm,.
把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至
少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
两个几何体相（内）切:
一个几何体的各个面与另一个几何体
的各面相切.
O
两个几何体相接:
一个几何体的所有顶点都 在另一
个几何体的表面上
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
·
●
●O
●
●
B D
A
M
R
球面不能展开成平面图形，所以
求球的表面积无法用展开图求出，
如何求球的表面积公式呢?
回忆球的体积公式的推导方法, 得到
启发，可以借助极限思想方法来推导
球的表面积公式。
. 球的表面积.
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：
球的表面积
注：推导过程不要求，只需了解
第
一
步：
分
割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
则球的体积为：
O
O
球的表面积
定理 半径是 的球的表面积：
球的表面积是大
圆面积的4倍
R
注：推导过程不要求，只需了解
1、地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为
6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积；
(2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：（1）
（2）
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
O
证明:
R
(1)设球的半径为R,
得:
则圆柱的底面半径为R,高为2R.
(2)
222 624 RRRS ppp =+=圆柱全Q
例2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长
为a,它的各个顶点都在球O的球面上，
求证：
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可
知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解：
变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R=————。
。
1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同
一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л B 4л C D 6л
●●
C
解：设四面体为ABCD， 为其外接球
心。 球半径为R，O为A在平面BCD上
的射影，M为CD的中点。连结B
A
·
●
●O
●
●
B D
A
M
R
1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同
一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л B 4л C D 6л
解法2 构造棱长为1的正方
体，如图。则A1、C1、B、D是
棱长为 的正四面体的顶点。
正方体的外接球也是正四面体
的外接球，此时球的直径为
，
选A
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相
切，求球的表面积。
解：作出过一条侧棱PC和高
PO的截面，则截面三角形PDC的
边PD是斜高，DC是斜高的射影，
球被截成的大圆与DP、DC相切，
连结EO，设球半径为r，
∽由
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相
切，求球的表面积。
解法2：连结OA、OB、OC、
OP，那么
解题小结：
1、多面体的“切”、“接”问题，必须明
确“切”、“接”位置和有关元素间的数量
关系，常借助“截面”图形来解决。
2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要
掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平
面问题得到解决，并注意方程思想的应用。
3、注意化整为零的思想的应用。
4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一，
外接球半径等于其高的四分之三。
小结：（1）有关球和球面的概念。
（2）球的体积公式：
球的表面积公式：
（3）用“分割-求近似和-化为准确和”
的数学方法推出了球的体积和表面积公式：
（4）球的体积公式和表面积的一些运用。
1.习题1.3
2.导与练
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