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第二章 二 次 函 数
1 二 次 函 数
【知识再现】
形如y=_________(k≠0)的函数,是一次函数;形如
y=_______ (k≠0)的函数是反比例函数.
kx+b
【新知预习】
阅读教材P29-P30,解决下列问题:
(1)正方形的边长为x,则其面积y=______.
(2)半径为x的圆与面积为5的长方形的面积和y=______.
x2
πx2+5
(3)心理学家发现:学生对概念的接受能力y与提出概
念的时间x(分)之间有如下关系:y=-0.1x2+2.6x+
43(0≤x≤30).
观察可以发现:上述的表达式中x为自变量,且自变量
的最高次数是______,含x2的系数不为0,对于x的每一
个取值,y都有唯一确定的值与它对应.
2
你发现的规律:
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成
y=____________(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则
称y是x的二次函数.
其中:a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
ax2+bx+c
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列函数表达式中,一定为二次函数的是( )
A.y=3x-1
B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1
D.y=x2+
C
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次
项系数b,常数项c分别是 ( )
A.a=1,b=-3,c=5
B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1
D.a=5,b=-3,c=1
D
3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y=______. 5
知识点一 二次函数的概念(P30随堂练习T1拓展)
【典例1】已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值.
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
【规范解答】(1)若这个函数是一次函数
则m2-m=0, …………二次项系数为0
∴m=0或m=1. …………解一元二次方程
又∵m-1≠0, …………一次项系数不为0
∴m≠1,∴m=0.
(2)依题意得m2-m≠0, …………二次项系数不为0
∴m≠0且m≠1. …………解不等式
【学霸提醒】
判断一个函数是否是二次函数的“三步法”
【题组训练】
1.(概念应用题)(2019·上海嘉定区一模)下列函数
中,是二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=(x-1)2-x2
C.y=1-x2 D.y=
C
★2.已知y=xm-5是y关于x的二次函数,那么m的值为
( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
B
★3.(易错警示题)(2019·保山施甸模拟)若函数
y=(a+1)x|a|+1是二次函数,则a的值是______.
★★4.二次函数y=2(x+2)2-3的二次项系数是______,
一次项系数是______,常数项是______.
1
2
8 5
知识点二 建立二次函数关系(P29“引例”补充)
【典例2】如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正
方形MNPQ的边长均为20 cm,AC与MN在同一条直线上,开
始时点A与点N重合,让△ABC以2 cm/s的速度向左运动,
最终点A与点M重合,求重叠部分的面
积y cm2与时间t s之间的函数表达式.
【思路点拨】根据题意判断出重叠部分△AMH为等腰直
角三角形,用t表示出一条直角边便可求得三角形的面
积.
【自主解答】∵△ABC是等腰直角三角形,
∴重叠部分△AMH也是等腰直角三角形,
又∵AN=2t,
∴AM=MN-AN=20-2t,
∴MH=AM=20-2t,
∴重叠部分的面积为:y= (20-2t)2
=2t2-40t+200.
【学霸提醒】
实际问题中建立二次函数表达式的“三步法”
【题组训练】
1.(2019·南京鼓楼区模拟)下列函数关系中,是二次函数
的是 ( )
A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关
系
B.当距离s一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D.半圆面积S与半径R之间的关系
D
★2.在半径为4 cm的圆中,挖去一个边长为x cm的正
方形,剩下部分面积为y cm2,则y与x之间函数表达
式为 ( )
A.y=πx2-4y B.y=16π-x2
C.y=16-x2 D.y=x2-4y
B
★3.(生活情境题)某畅销书的售价为每本30元,每星
期可卖出200本,书城准备开展“读书节活动”,决定
降价促销.经调研,如果调整书籍的售价,每降价2
元,每星期可多卖出40本.设每本降价x元后,每星期
售出此畅销书的总销售额为y元,则y与x之间的函数关
系为______________________. y=-20x2+400x+6 000
【火眼金睛】
当m为何值时,y= 是关于x的二次函数?
正解:根据题意得m2-3m-2=2,
∴m1=-1,m2=4,
又因为m+1≠0,∴m≠-1,∴m=4,
即当m=4时,y是关于x的二次函数.
【一题多变】
现有铝合金窗框材料8米,准备用它做一个如图所示的
长方形窗架(窗架宽度AB必须小于窗架的高度BC).已知
窗台距离房屋天花板2.2米.
设AB为x米,窗架的总面积为S
平方米.试写出S与x的函数表达式.
解:设窗架的宽AB为x米,则长BC为 米,
则窗户的总面积S= 故S与x的函
数表达式为S=- x2+4x(1.2≤x
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