资料简介
第27章 圆
27.3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和
扇形的面积
解:∵圆心角900
∴铁轨长度是圆周长的
则铁轨长是
如图，是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半
径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的
长度吗?
问题情景
问题探究
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心
角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、
450、n0所对的弧长.
1800
900
450
n0
圆心角占整个周角的 所对的弧长是
结论
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那
么，弧长的计算公式为：
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆
弧的长度.
= cm
答：此圆弧的长度为 cm
解：
如果扇形面积为S，圆心角度数为n，圆半径是r，
那么 扇形面积计算公式为
结论
例题讲解
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为
10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
≈52.33(平方厘米)
扇形的周长为
≈ 30.47（厘米）
解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
一、弧长的计算公式
二、扇形面积计算公式
1、弧长计算公式
2、扇形面积计算公式
一、知识回顾
第2课时
圆锥的认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它
的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
2.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母
线
3.连结顶点与底面圆心的线段
叫做圆锥的高
图中 a是圆锥的母线,
h 就是圆锥的高
r 是底面圆的半径
问题：圆锥的母线有几条？
a
h
r
A
A2
A1
圆锥知识知多少
h
r
母线
高
底面半径
底面
侧面
B
O
探究新知探究新知
例如：已知一个圆锥的高为
6cm，半径为8cm，则这个圆锥
的母线长为_______10cm
rO
4、圆锥的底面半径、高线、母线长
三者之间的关系:
h
a
圆锥可以看做是一个
直角三角形绕它的一条
直角边旋转一周所成的
图形．
O
A
BC
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆锥
的底面半径、高线、母线长）。
(1) h =3, r=4 则 a =_______
(2) a = 2，r=1 则 h =_______
(3) a= 10, h = 8 则r =_______
5
6
即时训练
如图，一只蚂蚁从底面圆周上一点B出发沿圆锥的
侧面爬行一周后回到点B，请你帮助它找到最短的
路线。
二、设置情境
B.
A
B
C
B’
准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥
的侧面展开图．
R
h
rO
问题1:
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得
到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什
么关系？
探究新知
相等
母线
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆
锥中的哪一条线段相等？
问题2
：
圆锥的侧面积和
全面积
R
h
rO
圆锥的侧面积 圆锥的侧面积=扇形的面积
n
公式一：
例1.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这
个圆锥形零件的侧面积。
O
P
A Br
h
a 答:圆锥形零件的侧面积是 .
即时训练
（1）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面
积为_________.
2
(3）已知圆锥底面圆的半径为2cm,高为 ，则这个圆
锥的侧面积为_____.
(2)已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为12cm，则它
的侧面积为_________.
n
圆锥的侧面积
公式二：
即时训练 填空、根据下列条件求值 .
(1) a=2， r=1，则n =_______
(2) a=9, r=3，则n =_______
(3) n=90°,a=4，则r =_______
(4) n=60°,r= 3，则a =_______
n
180°
120°
1
18
圆锥的全面积
n
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
思考：你能探究展开图中的圆心角n与r、R之
间的关系吗？
当圆锥的轴截面是等边三角形时，
圆锥的侧面展开图是一个半圆
）n
R
h
rO
思考：如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂
蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再
回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
A
B
C
6
1
B’
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°
∴ △ABB’是等边三角形
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.
解得: n=60
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∴ BB’=AB=6
五、小结升华
1、本节课所学：“一个图形、三个关系、两
个公式”，理解关系，牢记公式；
2、立体图形的处理方式--转化为平面几何图形
圆锥与侧面展开图之间的主要关系：
1、圆锥的母线长=扇形的半径
2、圆锥的底面周长=扇形的弧长
3、圆锥的侧面积=扇形的面积
（a = R）
（C = l）
n
5
问题：已知老师手中的圆锥底面圆的半径为5cm，
母线长为15cm，请你帮老师算算需要多少cm2的材
料做这个模型.
15
1、根据圆锥的下列条件，求它的侧面积和全面积.
（2） h=12cm， r=5cm
（1） r=12cm, a=20cm
2、若一个圆锥的底面半径长和母
线长是方程 的两
个根，则该圆锥的侧面展开图的
面积是____。
3.圆锥的底面直径为80cm,母线长为90cm,
求它侧面展开图的圆心角的度数.
4. 扇形的半径为3cm,圆心角为120°，用它做一个
圆锥模型的侧面,求这个圆锥轴截面的面积.
例 蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成,如
果想用毛毡搭建20个底面积为35m2,高为
3.5m,外围高2m的蒙古包，至少需要用多少m2
的毛毡 (结果取整数) ?
2m2m
3.5m3.5m
35m2
AA
BBCC
DD
EE
能力提升
1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥
侧面展开图扇形的圆心角是_______。
2.圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开
图扇形的圆心角是 ____ 。
3 .一个扇形的半径为30cm，圆心角为120度，用它做成
一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ 。
4.圆锥的底面半径为10cm，母线长40cm，底面圆周上的
蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是_______。
180o
10cm
180o
1.圆锥形的烟囱帽的底面直径
是8dm, 母线长5dm.制作100个
这样的烟囱帽至少需要多少平
方分米的铁皮？
2.已知：在RtΔABC中，∠C=90°，
AB=13cm, BC=5cm. CD⊥AB于点
D.求以AB为轴旋转一周所得到的几
何体的全面积.
3.已知圆锥底面半径
为10cm，母线长为40cm。
(1)求它的侧面展开图的圆
心角和全面积；(2)若一甲
虫从圆锥底面圆上一点A
出发，沿着圆锥侧面绕行到
母线AB的中点C，它所走的
最短路程是多少？
OO AA
BB
40
BB
CC
5.圆锥的侧面积和全面积
1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得
到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么
关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆
锥中的哪一条线段相等？
探究
圆锥的侧面积和全(表）面积探究
n
rap=
☆归纳
1、圆锥的侧面展开图是一个扇形。
2、扇形的半径——圆锥的母线
3、扇形的弧长——圆锥的底面圆周长
4、设圆锥的母线长为a,底面圆半径为r，
S 侧 =πra (r表示圆锥底面的半径, a 表示圆锥的母线
长 )
母线a
例1.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其
圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半
径为5cm,生产这种帽身10000个,你
能帮玩具厂算一算至少需多少平方
米的材料吗(不计接缝用料和余料)?
解:∵ a =15cm,r=5cm,
∴S 圆锥侧 = πra
∴ 75 π×10000=750000π(cm2)
答:至少需 750000π平方米的材料.
=75 π
=π×15×5
r
a
题型一：直接套用公式求侧面积
50
30
根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角 n
（r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母
线长）
a = 4，r = 3 则 n =________
题型二：求侧面展开图的圆心角的度数
你能探究展开图中的圆心角n与
r 、 a 之间的关系吗？
n
探究新知
因为扇形的弧长等于底面圆的周长
所以
所以360r= na
所以 n=
拓展提高
•如图，一个直角三角形两直角边分
别为12cm和5cm，以它的一直角边
为轴旋转一周得到一个几何体，求
这个几何体的表面积。
变式：已知：在RtΔABC中,
求以AB为轴旋转一周所得到的几
何体的全面积。
B
C
A
D
☆当堂训练（（看谁做得又快又好看谁做得又快又好））
3.已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65c㎡，
扇形的弧长为10㎝，则圆锥的母线长是_____
2.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm
，则这个圆锥的侧面积为_____，全面积是____
1.已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则这个
圆锥的高为_______
如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁
要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一
圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
A
B
C
6
1
B’
变式：如图，圆锥的底面半径为1，母线长
为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，
沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母
线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B C
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