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第三章 直线与方程小结
一、教学目标：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两
点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜
率判定这两条直线平行或垂直；
（2）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方
程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了
解斜截式与一次函数的关系；
（3）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，
会求两条平行直线间的距离；
A
B
x
y
o
A
B
P
从直线l的边界PA，PB入手，分别求出其斜率，
再由倾斜角的变化情况得出斜率的变化情况。
数形结合！
4.下列命题正确的有 :
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,
也有唯一一个斜率与之对应;
②倾斜角的范围是:0°≤α0时,倾斜角是锐角；当k0），直线l2
：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2
的距离是
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）能否找到一点P，使得P点同时满足下列
三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1
的距离是P点到l2的距离的 ；③点P到l1的
距离与点P到l3的距离的比为 若能，求
出P点坐标；若不能，说明理由.
• （Ⅰ）利用l1与l2的距离是
• 可求得a的值.（Ⅱ）先假设P点坐标为
P（x0,y0），然后借助题设中的3个条件列方
程组，可求得P点坐标，解题时不可忽视“P
是第一象限的点”这一条件.
• （Ⅱ）假设存在点P，设点P（x0,y0），若P点
满足条件②，则P点在与l1,l2平行的直线
l′：2x-y+C=0上，且
解得C= 或 .
• 所以2x0-y0+ =0,或2x0-y0+ =0.
• 若P点满足条件③，则由点到直线距离公式，
有
即
所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0，
由于P点在第一象限，所以3x0+2=0是不可能的
• 联立方程2x0-y0+ =0和x0-2y0+4=0，
x0=3
y0= (不合，舍去)
2x0-y0+ =0
x0-2y0+4=0
所以存在点P( )同时满足三个条件.
解得
由 ，解得
• 利用两平行线间的距离公式时，x，
y项对应的系数必须相同；解决存在性问题，
先假设存在，再加以推证.
• 1.求斜率一般有两种方法，其一，已知直线
上两点，根据 求斜率；其二，已知
倾斜角α或α的三角函数值，根据tanα求斜
率.斜率范围与倾斜角范围的转化，要结合
tanx在［0，）和（ ，π）上的变化规律，
借助数形结合解题.
• 2.直线方程的各种形式之间存在内在的联系，
它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌
握好它们之间的变化；在解具体问题时，要根
据问题的条件，结论灵活的选用公式，以便简
化运算.一般地，确定直线方程基本可分为两个
类型；一是根据题目条件确定点和斜率或确定
两点，进而利用直线方程的几种形式，写出直
线方程.二是利用直线在题目中具有的某些性质，
先设出方程（含参数或待定系数法），在确定
参数值.切记讨论斜率k的存在与否.
• 3.求点到直线的距离问题时，直线方程要化
成一般式；利用两平行线间的距离公式时，
要注意x，y项的对应系数必须相同.
• 4.判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考
虑两条直线中一条或两条直线均无斜率的情
况.
• 5.注意截距不是距离，是一个数值，它可取
正数，负数或零.
对称问题
1.点关于点对称
(1)点Ｍ（４，m）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点
为Ｐ（６，－９），则 m=_____,n=_______
(2)点Ｍ（４，3）关于点Ｎ（x,y）的对称
点为Ｐ（６，－９），求N的坐标.
2.点关于直线对称
(1)点A(3,4)关于X轴对称的点A’的坐标是_________.
(2)点A(3,4)关于y轴对称的点A’的坐标是_________.
(3)点A(3,4)关于直线y=x对称的点A’的坐标是
_________.
(4)点A(1,1)关于直线y=2x对称的点A’的坐标是_________.
(3,-4)
(-3,4)
(4,3)
(5)点A(1,1)关于直线2y=x+4对称的点A’的坐标是
_______.
点A(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)
对称的点A’的坐标是(x,y).
方法小结
则:
例7：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0
，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值
最大，并求出这个最大值.
(1)已知A(-2,6)和B(4,4),P为x轴上的一点,
求|PA|+|PB|的最小值.
练习：
(3)一束光线从点（－1，1）出发,经x轴反射到点
（2，3）,光线经过的最短路程是_______
已知直线
(1)若 与 关于x轴对称，则 的方程_____；
(2)若 与 关于y轴对称，则l3的方程为___；
(3)若 与 关于 对称，则l4的
方程为___________；
3.直线关于直线对称
三、课堂小结
一、知识点
二、思想方法
1.用待定系数法求直线方程
2.数形结合和分类讨论思想
1.直线的倾斜角和斜率
2.垂直和平行
3.直线方程
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