资料简介
第三十章 二次函数
30.3由不共线三点的坐标确定二次
函数*
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
（重点）
复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已
知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么
？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
特殊条件的二次函数的表达式一
典例精析
例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
∴
a=2，
c=－5.
解得 关于y轴
对称
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
做一做
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
顶点法求二次函数的表达式二
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次
函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点
（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点
法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标
为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因
此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、
x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次
函数的表达式.
交点法求二次函数的表达式三
x
y
O 1 2-1-2-3-4 -1-2
-3
-4
-5
1
2
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交
点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关
于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平
行于x轴，但不可以平行于y轴.
一般式法二次函数的表达式四
探究归纳
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系
数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个 3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列
表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
解： 设这个二次函数的表达式是
y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），
试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4
，c=-
3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
例3 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)
三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于
这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
.
y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a
(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过
前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O 1 2-1-2-3-4 3
2
1
-1
3
4
5
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 .
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和
(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得 b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过
点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所
以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交
于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在
对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标
或对称轴或最值
③已知抛物线与x
轴的两个交点
已知条件 所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
查看更多
