资料简介
3.2 提公因式法
【知识再现】
1.如果把一个多项式表示成若干个多项式_________的
形式,称为把这个多项式_____________.
乘积
因式分解
2.对于单项式与多项式相乘的法则,m(a+b+c)=ma+mb+mc
的逆运算可表示为______________________. ma+mb+mc=m(a+b+c)
【新知预习】阅读教材P59【说一说】和【例题】,
解决下面的问题,并归纳结论:
(1)多项式3x2-6x各项都含有的因式是_______,所以
3x2-6x=3x· __________.
(2)多项式mb2+nb3-b4各项都含有的因式是______,所以
mb2+nb3-b4=b2· _____________.
3x
(x-2)
b2
(m+nb-b2)
观察上述问题,我发现的规律是:
(1)公因式的定义:几个多项式的_________的因式称为
它们的公因式.
(2)提公因式法:如果一个多项式的各项有___________,
把公因式提到_____________,从而把多项式因式分解的
方法.
公共
公因式
括号外面
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.在下列多项式中,没有公因式可提的是 ( )
A.3x-4y2 B.3x+4xy
C.4x2-3xy D.4x2+3x2y
A
2.对多项式4x2-2x因式分解,可提取的公因式为
_______.
3.用提公因式法因式分解:
m2(a-2)+m(a-2).
解:原式=m(a-2)(m+1).
2x
知识点一 提取公因式为单项式的因式分解运算
(P59-60例1,2,3拓展)
【典例1】因式分解:
(1) a4b3- a3b4.
(2)-15xn+45xn-1.
(3)-10a2bc+15bc2+20ab2c.
【思路点拨】在提公因式时,数字系数要取各个系数的
最大公因数,含相同字母幂要取字母的最低次幂.
【自主解答】(1) a4b3- a3b4
= a3b3(a-b).
(2)-15xn+45xn-1
=-15xn-1(x-3).
(3)-10a2bc+15bc2+20ab2c
=-5bc(2a2-3c-4ab).
【学霸提醒】
提公因式法因式分解的“三个步骤”
第一步:确定公因式;
第二步:把多项式中的每一项变形为含有公因式积的形
式;
第三步:提取多项式中的公因式.
【题组训练】
1.多项式20a2x-15ax2的公因式为 ( )
A.5ax B.5a2x2 C.-5ax D.-5a2x2
A
★2.多项式-4x3+8x2-16x因式分解的结果为 ( )
A.-x(4x2-8x-16)
B.x(-4x2+8x+16)
C.4(-x2+2x+4x)
D.-4x(x2-2x+4)
D
★3.对于多项式8m3n2+4m2n3-12mn2,公因式为
________.
★★4.对于多项式3xmyn+2-9xm-1yn+1,因式分解的结果为
__________________.
★★5.因式分解:
4mn2
3xm-1yn+1(xy-3)
(1)12xyz-9x2y2.
(2)-x2+xy-xz.
(3)a2b+5ab-b.
解:(1)12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy).
(2)-x2+xy-xz=-x(x-y+z).
(3)a2b+5ab-b=b(a2+5a-1).
知识点二 提取公因式含多项式的因式分解运算
(P61例4,5,6拓展)
【典例2】因式分解:
(1)4x(m-2)-6x2(2-m)2.
(2)9x(x+y)(x-y)-6x(x+y)2(x-y)-12x(x+y)(x-y)2.
【思路点拨】首先要准确找出多项式中的公因式,再提
公因式进行因式分解.
【自主解答】(1)4x(m-2)-6x2(2-m)2
=4x(m-2)-6x2(m-2)2
=2x(m-2)(2-3mx+6x).
(2)9x(x+y)(x-y)-6x(x+y)2(x-y)-12x(x+y)(x-y)2
=3x(x+y)(x-y)(3-2x-2y-4x+4y)=3x(x+y)(x-y)
(3-6x+2y).
【学霸提醒】
提公因式法进行分解因式时应注意的事项
(1)若多项式的首项为负数,为使提公因式后括号里首
项不含负号,可提一个带负号的公因式.
(2)结果中出现相同因式时写成乘方的形式,公因式中
字母也可以是整式.
(3)多项式中某一项全提公因式后不要漏掉“1”这一
项.
(4)提公因式,要一次提“全”提“尽”,直到不能再分
解为止.
【题组训练】
1.下列因式分解正确的是 ( )
A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)
B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)
C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)
D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)
A
★2.多项式(x2+3x)-3(x+3)因式分解的结果为
_______________.
★3.如果a(a-b)2-(b-a)=(a-b)·G,那么G表示的式子是
___________.
(x+3)(x-3)
a2-ab+1
★4.因式分解:
(1)2x(a-b)+3y(b-a) .
(2)x(x2-xy)-(4x2-4xy).
解:(1)原式=2x(a-b)-3y(a-b)
=(a-b)(2x-3y).
(2)原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).
★★5.某学校有三块草坪,第一块草坪的面积为(a+b)2,
第二块草坪的面积为a(a+b),第三块草坪的面积为
b(a+b),求三块草坪的总面积.
解:(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)
=(a+b)[(a+b)+a+b]=(a+b)(2a+2b)
=2(a+b)(a+b)=2(a+b)2.
答:三块草坪的总面积为2(a+b)2.
【火眼金睛】
因式分解:15a2+45ab+5a
【正解】原式=5a(3a+9b+1).
【一题多变】
已知x+y=6,xy=4,求下列各式的值:
(1)x2y+xy2. (2)x2+y2.
解:(1)当x+y=6,xy=4时,
原式=xy(x+y)=4×6=24.
(2)当x+y=6,xy=4时,
原式=(x+y)2-2xy=62-2×4=36-8=28.
【母题变式】
已知:x,y满足:(x+y)2=5,(x-y)2=41,求x3y+xy3的值.
解:因为(x+y)2=5,(x-y)2=41,
所以(x+y)2+(x-y)2=46,
则x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=46,
2(x2+y2)=46,
故x2+y2=23,
因为(x+y)2-(x-y)2=-36,
则x2+2xy+y2-x2+2xy-y2=-36,
故4xy=-36,
则xy=-9,
x3y+xy3=xy(x2+y2)=-9×23=-207.
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