资料简介
第3章 因 式 分 解
3.1 多项式的因式分解
【知识再现】
1.单项式与多项式相乘,就是根据_____________律用单
项式去乘多项式的___________,再把所得的积________.
用字母表示为m(a+b+c)=_____________.
乘法分配
每一项 相加
ma+mb+mc
2.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的___________
分别乘另一个多项式的___________,再把所得的积_____
_____.用字母表示为(m+n)(a+b)=________________.
每一项
每一项 相
加 ma+mb+na+nb
【新知预习】阅读教材P55【说一说】和P56【例题】,
解决下面的问题,并归纳结论:
计算下列各题:
①30=______×______×______.
②1-9a2= _____________________.
2 3 5
(1+3a)(1-3a)
观察上述各式和计算结果,问题①中的整数30,存在因
数2、______和______;问题②中的多项式1-9a2,存在因
式___________和___________.
3 5
(1+3a) (1-3a)
你发现的规律:
1.因式
对于两个多项式f与g,如果有多项式h使f=_______,那么
把g叫做______的一个因式.此时,h也是______的一个因
式.
gh
f f
2.因式分解
把一个多项式表示成若干个多项式的_________的形式,
称为把这个多项式因式分解.
3.因式分解与整式乘法的关系
乘积
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.x2-5x+6=x(x-5)+6
B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
B
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6
D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
2.式子5a2-5a=5a(a-1)的变形是_____________.
(填“因式分解”或“整式乘法”)
3.已知多项式M可因式分解为3(1+2x)(-2x+1),求M.
解:M=3(1+2x)(-2x+1)
=3(1-4x2)=3-12x2.
因式分解
知识点一 因式分解的概念(P56例1拓展)
【典例1】下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪
些不是因式分解?并写明理由.
(1)(x+3)(x-3)=x2-9.
(2)x2+3x-10=(x+5)(x-2).
(3)x2-9+2x=(x+3)(x-3)+2x.
(4)4a2-4ab+b2=(2a-b)2.
【思路点拨】判断等式变形是不是因式分解,关键看多
项式是不是由代数和的形式转化为整式乘积的形式.
【自主解答】(2)和(4)是因式分解,是把多项式由代数
和形式变成乘积的形式;(1)和(3)不是因式分解,(1)是
进行整式的乘法运算,(3)没有化成乘积的形式.
【学霸提醒】
因式分解的三个注意问题
1.因式分解的对象必须是多项式.
2.因式分解的结果必须是积的形式.
3.因式分解结果中每个因式都必须是整式.
【题组训练】
1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.ax2-9a=a(x+3)(x-3)
B
C.(x-4)2=x2-8x+16
D.x2-4+5x=(x+2)(x-2)+5x
★2.x2+x-6=(x-2)(x+3)是把多项式__________化成
________与________的积的形式,这是多项式的
_____________.
★3.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)· __________=(x+2)2,
故x2-4和(x+2)2都含有的因式为________.
x2+x-6
x-2 x+3
因式分解
(x+2)
x+2
★★4.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些
不是?
(1)24x2y=4x·6xy.
(2)(x+5)(x-5)=x2-25.
(3)x2+2x-3=(x+3)(x-1).
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1.
(5)x2+1=x .
解:(1)因式分解是针对多项式来说的,故(1)不是因式
分解.
(2)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
(3)是因式分解.
(4)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
(5)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
则(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.
知识点二 因式分解与整式乘法的关系
(P56例2拓展)
【典例2】甲、乙两个同学进行因式分解x2+ax+b时,甲
看错了b,分解的结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解的
结果为(x+1)(x+9),求a+b的值.
【思路点拨】由于整式乘法与因式分解是互逆运算,所
以可以利用整式乘法运算来解决问题.
【自主解答】(x+2)(x+4)=x2+2x+4x+8
=x2+6x+8.
因为甲看错了b,所以a=6.
(x+1)(x+9)
=x2+9x+x+9
=x2+10x+9.
因为乙看错了a,所以b=9,所以a+b=15.
【学霸提醒】
因式分解与整式乘法的联系与区别
1.联系:因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形,
因此因式分解的结果是否正确,可以用整式乘法来检验.
2.区别:整式的乘法是几个整式相乘,其结果是和的形
式,因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式,其
结果是积的形式,因此整式的乘法是:“积化和”,因式
分解是“和化积”.
【题组训练】
1.把多项式x2+ax+b因式分解,得(x+1)(x-3),则a,b的
值分别是 ( )
A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3
C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-3
B
★2.下列多项式因式分解的结果是-(a+2b)(a-2b)的是
( )
A.a2-4b2 B.a2+4b2
C.-a2-4b2 D.-a2+4b2
D
★3.若4x3-6x2=2x2(2x+k),则k= _______.
-3
★★4.已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结
果是(2x-1) ,求m,n的值.
解:(2x-1)
=2x2+ x-x-
=2x2- x- .
则m=- ,n=- .
★★5.已知多项式x4+2x3-x+m能因式分解,且有一个因
式为x-1.
(1)当x=1时,求多项式x4+2x3-x+m的值.
(2)根据(1)的结果,求m的值.
(3)仿照(1)的方法,试判断x+2是不是多项式x4+2x3-x+m
的一个因式.
解:(1)根据题意得x4+2x3-x+m=(x3+ax2+bx+c)(x-1),
当x=1时,x4+2x3-x+m=0.
(2)由(1)知m=-2.
(3)由x+2=0得x=-2,
当x=-2时,x4+2x3-x-2=16-16+2-2=0,
所以x+2是多项式的一个因式.
【火眼金睛】
x2-2x-15=(x+5)(x-3)是因式分解吗?为什么?
【正解】不是因式分解.
因为x2-2x-15=(x-5)(x+3)
题干所给等式左右两边不相等.
所以,不是因式分解.
【一题多变】
如果多项式x2+px-6可以因式分解为(x+q)(x-2),求
(p-q)2的值.
解:(x+q)(x-2)=x2-2x+qx-2q=x2+(-2+q)x-2q.
所以 解得
所以(p-q)2=(1-3)2=4.
【母题变式】
【变式一】(变换条件和结论)如果多项式x2+px-6有一
个因式是(x+3),求另一个因式及p的值.
解:设另一个因式是(x+n),
则x2+px-6=(x+3)(x+n),
即x2+px-6=x2+(3+n)x+3n.
所以 解得
故另一个因式为(x-2),p的值为1.
【变式二】(变换结论)若多项式x2+px-6可以因式分解
为(x+m)(x+n),其中m,n为整数,求符合条件的p的值.
解:由题意知:x2+px-6=(x+m)(x+n).
整理得,x2+px-6=x2+(m+n)x+mn.
所以
因为m,n为整数,所以m,n满足的值分别为:
所以p的值可能为:1,-1,-5,5.
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