资料简介
第2章 整式的乘法
2.1 整式的乘法
2.1.1 同底数幂的乘法
22×24= ； a2·a4= ；
a2·am= ；（m是正整数） am·an= .（m、
n均为正整数）
22×24=（2×2）×（2×2×2×2）
=2×2×2×2×2×2=26.
2个2 4个2
（2+4）个2
a2·a4=（a·a）·（a·a·a·a）=a·a·a·a·a·a=a6.
2个a 4个a （2+4）个a
思考
a2·am=（a·a）·（a·a·…·a·a）
=a·a·…·a=a2+m.
2个a m个a
（2+m）个a
通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的
？
底数不
变，指
数相加.
我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即
am·an=
（a·a·…·a）·（a·a·…·a）
= a·a·…·a
= am+n（m，n都是正整数）.
m个a n个a
（m+n）个a
am·an=am+n（m，n都是正整数）.
所以，我们得到：同底数幂相乘，底数不变，指
数相加.
【例1】计算：（1）105×103；
（2）x3·x4.
解：（1）105×103=105+3=108；
（2）x3·x4=x3+4=x7.
【例2】计算：（1）-a·a3；
（2）yn·yn+1（n是正整数）
.解：（1）-a·a3= -a1+3= -a4；
（2）yn·yn+1=yn+n+1=y2n+1.
当三个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式
表示运算的结果呢？
讨论
【例3】计算：（1）32×33×34；
（2）y·y2·y4.
解法一：（1）32×33×34=（32×33） ×34=35×34=39；
（2）y·y2·y4=（y·y2）·y4=y3·y4=y7.
解法二：（1）32×33×34=32+3+4=39；
（2）y·y2·y4=y1+2+4=y7.
1.计算：（1）106×104； （2）x5·x3；
（3）a·a4； （4）y4·y4.
答案：（1）1010；（2）x8；
（3）a5； （4）y8.
练习
2.计算：（1）2×23×25；（2）x2·x3·x4；
（3）-a5·a5； （4）am·a（m是正整数）
；
（5）xm+1·xm-1（其中m＞1，且m是正整数）.答案：（1）29； （2）x9；
（3）-a10；（4）am+1.
（5）x2m.
通过本节课，你有什么收获
？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
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2.1.2 幂的乘方与积的乘方
( 22 )3= ； ( a2 )3= ；( a2 )m= ;（m是正
整数） ( am)n= .（m、n均为正整数）
( 22
)3=22·22·22=22+2+2=2
2×3=26.
( a2
)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a
2×3=a6.
( a2
)m=a2·a2·…·a2=a2+2+…+2=
a2×m=a2m.
m个a2
m个2
思考
通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变
化的？
底数不变，
指数相乘.
同样，我们把上述运算过程
推广到一般情况，即
( am)n = am·am·…·am
= am+m+…+m
= amn（m，n都是正整数）.
n个am
n个m( am)n =amn（m，n都是正
整数）.
可以得到：幂的乘方，
底数不变，指数相乘.
【例1】计算：（1）( 105 )2；（2）-( a3 )4.
解：（1）( 105 )2=105×2=1010；
（2）-( a3 )4= -a3×4= -a7.
【例2】计算：（1）( xm )4；（2）( a4 )3·a3.
解：（1）( xm )4=xm×4=x4m；
（2）( a4 )3·a3= a4×3·a3= a15.
1.填空：（1）( 105 )2= ；
（2）( a3 )3= ；
（3）-( x3 )5= ；
（4）( x2 )3·x2= .
1010
a9
-x15
x8
练习
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）( a4 )3=a7； （2）( a3 )2=a9.
答案：（1）、（2）均不对；
（1）( a4 )3=a12；
（2）( a3 )2=a6.
( 3x )2= ； ( 4y )3= ；
( ab )3= ； ( ab )n= .
( 3x )2=3x·3x=( 3·3 )·( x·x
)=9x2.
( 4y )3=( 4y )·( 4y )·( 4y )
=( 4·4·4 )·( y·y·y )
=64y3.
( ab )3=( ab )·( ab )·( ab )
=( a·a·a )·( b·b·b )
=a3b3.
思考
通过观察，你能推导出第四个式子吗？
( ab )n =anbn（n是正整数）.
( ab )n =( ab )·( ab )·…·( ab )
= ( a·a·…·a )·( b·b·…·b )
= anbn（n是正整数）.
n个ab
n个a n个b
所以，我们得到：
积的乘方，等于把
积的每一个因式分
别乘方，再把所得
的幂相乘.
( abc )n=？（n是正整数）
讨论
【例3】计算：（1）( -2x )3； （2）( -4xy )2；
（3）( xy2 )3； （4）
解：（1）( -2x )3=( -2 )3·x3= -8x3；
（2）( -4xy )2= ( -4 )2·x2·y2=
16x2y2；
（3）( xy2 )3=x3·( y2 )3=x3y6；
（4）
【例4】计算：2( a2b2 )3-3( a3b3 )2
解：2( a2b2 )3-3( a3b3 )2
=2a6b6-3a6b6
=-a6b6.
1.计算：（1） ； （2）( -xy )4；
（3）( -2m2n )3； （4）( -3ab2c3 )4.
答案：（1） ；（2）x4y4；
（3）-8m6n3；（4）81a4b8c12.
练习
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）(ab3)2=ab6； （2）( 2xy )3=6x3y3.
答案：（1）、（2）均不正确；
（1）(ab3)2=a3b6；
（2）( 2xy )3=8x3y3.
3.计算：-( xyz )4+( 2x2y2z2 )2.
答案：3x4y4z4.
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2.1.3 单项式的乘法
怎样计算4xy与-3xy2的乘积？
一般地，单项式与单项式相乘，把他们的系数、同
底数幂分别相乘.
思考
【例1】计算：
（1）( -2x3y2 )·( 3x2y )； （2）( 2a )3·( -3a2b
)；
（3）（1）（-2x3y2）（3x2y）
=[（-2）·3]（x3·x2
）（y2·y）=-6x5y3.
解
：
（2）( 2a )3·( -3a2b )
=[23·（-3）]（a3·a2
）b
=-24a5b.
【例2】天文学上计算星球之间的距离用“光年”做单
位的，1光年就是光在1年内所走过的距离.光的速度
约为3×108m/s，1年约3×107s.计算1光年约多少米.
解：根据题意，得
3×108×3×107
=（3×3）×（108×107）
= 9×1015（m）.
答：1光年约9×1015m.
1.计算：
答案：（1） ；（2）
.
练习
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）4x2·3x3=12x6； （2）-
x2·（2x）2=4x4.
答案：（1）、（2）均不对；
（1）4x2·3x3=12x5；
（2）-x2·（2x）2= -4x4.
3.计算（其中n是正整数）：
（1）（-2xn+1）·3xn （2）
答案：（1）-6x2n+1；
（2）-2xn+1y3.
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2.1.4 多项式的乘法
怎样计算单项式2x与多项式3x2-x-5的积？
可以运用乘
法对加法的
分配律.
2x·（3x2-x-5）
= 2x·3x2+2x·（-x）+2x·（-
5）
= 6x3-2x2-10x.
思考
【例1】计算：
（1） ； （2）
.
解：（1） （2）
【例2】求 的值，其中
x=3，y=-1.
解：
= -x3y+2x2y2+4x3y
=3x3y+2x2y2.
当x=2，y=-1时，
原式=3×23×（-1）+2×22×（-1）2= -24+8= -16.
1.计算：
（1）-2x2·( x-5y )； （2）( 3x2-x+1
)·4x；
（3）（2x+1）·（-6x）； （4）3a·（5a-3b）.答案：（1）-2x3+10x2y；（2）12x3-4x2+4x；
（3）-12x2-6x； （4）15a2-9ab.
练习
2.先化简，再求值： ，其中
x= -2，
答案：1.
a
b
m n
有一套居室的平面图如图所示，怎样用代数表示它
的总面积呢？
南北向总长为a+b，
东西向总长为m+n，
所以居室的总面积为：
( a+b )·( m+n ). ①
N
思考
北边两间房的面积和为a（m+n），
南边两间房的面积和为b（m+n），
所以居室的总面积为：a( m+n )+b(
m+n ). ②
四间房的面积分别为am，
an，bm，bn所以居室的总
面积为：
am+an+bm+bn. ③
上面的三个代数式都正确表示了该居室的总面积，
因此有：
( a+b )( m+n ) = a(m+n) +b( m+n ) = am+an+bm+bn.
撇开上述式子的实际意义，想一想，这几个代数式
为什么相等呢？它们利用了乘法运算的什么性质？
事实上，由代数式①到代数式②，是把m+n看成一
个整体，利用乘法分配律得到a( m+n )+b( m+n )，
继续利用乘法分配律，就得到结果am+an+bm+bn.
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的
每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加.
【例3】计算：（1）( 2x+y )( x-3y )；
（2）( 2x+1 )( 3x2-x-5 )；
（3）( x+a )( x+b ).
解：（1）( 2x+y )( x-3y )=2x·x+2x·（-3y）+y·x+y·
（-3y）=2x2-6xy+yx-3y2=2x2-5xy-3y2.
（2）( 2x+1 )( 3x2-x-5 )=6x3-2x2-10x+3x2-x-
5=6x3+x2-11x-5.
（3）( x+a )( x+b )=x2+bx+ax+ab =x2+( a+b )x+ab.
【例4】计算：（1）( a+b )( a-b )；
（2）( a+b )2；
（3）( a-b )2.
解：（1）( a+b )( a-b )=a2-ab+ba-b2=a2-b2.
（2）( a+b )2=( a+b )( a-b )=a2+ab+ba+b2=
a2+2ab+b2.
（3）( a-b )2=( a-b )( a-b )=a2-ab-ba+b2.
1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）( 3a-b )( 2a+b )=3a·2a+( -b )·b=6a2-b2.
（2）( x+3 )( 1-x )=x·1+x·x+3-3·x=x2-2x+3.
答案：（1）、（2）均不对；
（1）( 3a-b )( 2a+b )=6a2+3ab-2ab-b2=6a2+ab-b2；
（2）( x+3 )( 1-x )=x·1-x·x+3-3·x= -x2-2x+3.
练习
2.计算：
（1）( x-2 )( x+3 )；
（2）( x+1 )( x+5 );
（3）( x+4 )( x-5 )；
（4）( x-3 )2.
答案：（1）x2+x-6；（2）x2+6x-5；
（3）x2-x-20；（4）x2-6x+9.
3.计算：
（1）( x+2y )2；
（2）( m-2n )( 2m+n )；
（3）(2a+b)( 3a-2b )；
（4）( 3a-2b )2.
答案：（1）x2+4xy+4y2；
（2）2m2-3mn-2n2；
（3）6a2-ab-2b2；
（4）9a2-12ab+4b2.
通过本节课，你有什么收获
？
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交流。
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