资料简介
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.1 19.3.1 矩形（第矩形（第11课时）课时）
基础自主学习
► 学习目标1 能根据矩形的定义判定四边形是矩形
1．下列说法正确的是( )
A．矩形是平行四边形
B．平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
A
[归纳] 矩形的定义：______________________的平行四边
形叫做矩形．
有一个角是直角
► 学习目标2 知道矩形的角和对角线的性质，能根据
矩形的性质进行简单的应用
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
D
[归纳] 矩形的性质：①矩形的四个角都是________；
②矩形的对角线________．
直角
相等
► 学习目标3 能利用直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半进行简单的计算
3．直角三角形的两条直角边的长分别为5 cm和12 cm，
则斜边上的中线长为____ cm.
4．如图19－3－1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E
，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝
____ cm.
6.5
5
第1课时 矩形的性质
[归纳] 推论：直角三角形斜边上的中线等于__________
．斜边的一半
重难互动探究
第1课时 矩形的性质
探究问题一 利用矩形的性质进行计算或证明
第1课时 矩形的性质
[解析] (1)根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两
直线平行，内错角相等求出∠BAC＝∠FCO，然后利用
“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角
形的性质即可得证；
(2)连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得
BO⊥EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半可得OA＝OB，可得∠BAC＝∠ABO，从而求出
∠BAC＝30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等
于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可
求出AB.
第1课时 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
[归纳总结] 1.矩形是特殊的平行四边形，它不仅具有平行四
边形的所有性质，还具有各角都是直角、对角线相等的性质，
在利用矩形条件解题时，别忘了矩形的特有性质或所具有的
一般平行四边形的性质．
2．矩形的两条对角线被其交点分成的四条线段相等，同时
矩形也被分成四个等腰三角形，相对的两个三角形全等，并
且每个等腰三角形的面积都等于矩形面积的四分之一．
3．矩形的性质可用来证明线段或角相等、两直线平行或垂
直，还可以用来计算角的度数．
探究问题二 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半”证明线段的大小关系
第1课时 矩形的性质
例2 如图19－3－3所示，在△ABC中，BE，CF分别是AC
，AB边上的高，M，N分别是BC，EF的中点．求证：
MN⊥EF.
第1课时 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
[归纳总结] 1.直角三角形斜边上中线的性质是矩形性
质的推论，它只适用于直角三角形，对一般的三角
形不适用，同时注意直角边上的中线不具有这个性
质．
2．直角三角形斜边上的中线的性质说明了斜边上的
中线与斜边的数量关系，又得到了两个等腰三角形，
所以该性质可用来证明线段的倍分关系，也是证明
等腰三角形的基础．
课 堂 小 结
第1课时 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
[反思]四个顶点能转动的平行四边形，在转动的过程中，转
到什么位置时其面积最大？请说明理由．
[答案] 转到相邻的边相互垂直时，此时四边形是矩形，它的
面积最大．
理由：如图，平行四边形的
面积等于底边长乘以高，而在转动平行
四边形的过程中，底边始终保持不变，
只是高在不断地变化，在整个变化过程
中，转到矩形时，高最大，故此时面积
最大．
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.1 19.3.1 矩形（第矩形（第22课时）课时）
基础自主学习
► 学习目标1 会利用矩形的定义判定四边形是不
是矩形
第2课时 矩形的判定
1．如图19－3－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D
＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩
形，你所添加的条件是
_______________________________
(写出一种情况即可)．
∠A＝90°或AD＝BC或AB∥CD
第2课时 矩形的判定
[归纳] 矩形的判定方法（定义）：有一个角是直角的
_____________是矩形.平行四边形
► 学习目标2 利用矩形的判定定理1判定四边形是
不是矩形
2．如图19－3－5，四边形ABCD的对角线互相平分，
要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
D
第2课时 矩形的判定
[归纳] 判定定理1：对角线________的平行四边形是
矩形.
相等
► 学习目标3 会利用矩形的判定定理2判定四边形
是不是矩形
3．下列说法中正确的是( )
A．有—个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．三个角都是直角的四边形是矩形
D
[归纳]判定定理2：三个角是________的四边形是矩形
．
直角
重难互动探究
探究问题一 会用矩形的定义和判定定理证明
例1 如图19－3－6，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，
且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．
第2课时 矩形的判定
[解析] 根据矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形是
矩形)，连接EC，BD，先证四边形BCDE是平行四边形
(利用全等得到两组对边分别相等)，再利用三角形全等证
出这两条对角线相等．
第2课时 矩形的判定
证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD－∠CAB＝∠CAE－∠CAB，
即∠CAD＝∠BAE.
又∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△ADC≌△AEB，∴DC＝BE.
又∵DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形．
连接BD，CE.
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.
∴四边形BCDE是矩形．
第2课时 矩形的判定
[归纳总结] 1.利用定义和对角线相等判定矩形，必须
先判定四边形是平行四边形，然后再判定它为矩形
．
2．可通过适当增加条件，把判定中的前提“平行四
边形”改为“四边形”进行判定．
3．在证明四边形的边或角相等时，应注意利用等腰
三角形、全等三角形等知识来证明．
探究问题二 综合运用矩形的性质和判定进行说理
例2 已知M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，
PE⊥MC，PF⊥MB.当AB，BC满足怎样的条件时，四边形
PEMF为矩形？请说明理由．
第2课时 矩形的判定
[归纳总结] 1.矩形的判定定理和性质定理互为逆定理，
不要混淆判定和性质．
2．矩形的判定定理1的前提是平行四边形，而矩形的
判定定理2的前提是四边形，应注意加以区分．
3．矩形的判定可从对角线和角两个方面来说明：判定
定理1是从对角线方面说明的，判定定理2是从角的方
面说明的．无论是哪种判定方法，都应符合矩形定义的
要求．
课 堂 小 结
第2课时 矩形的判定
[反思] 矩形还可以用以下方法判定：
(1)四个角都相等的四边形是矩形；
(2)邻角相等的平行四边形是矩形；
(3)对角相等且互补的四边形是矩形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
(5)对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形
．
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