资料简介
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第第33课时课时
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等;;
平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等..
平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分..
性质：性质：
定义：定义：
既是平行四边形
的性质也是平行
四边形的判定.
你能说出
这三个性
质的逆命
题吗？
知识链接
复习导入
两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做
互逆命题.
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相
等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边
相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平
行四边形呢？行四边形呢？
你能根据
平行四边
形的定义
证明它们
吗？
合作探究
活动：探究平行四边形的判定
AA
BB CC
DD
11
2233
44
两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形..
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边
形ABCD是平行四边形.
证明思路
作对角线构造全等三角形 两组对应角相等
两组对边分别平行 四边形ABCD是平行四边形
AA
BB CC
DD
11
2233
44连结连结ACAC，，
在在△△ABCABC和和△△CDACDA中中,,
ABAB==CDCD ( (已知已知),),
BCBC==DADA((已知已知),),
ACAC==CA CA ((公共边公共边),),
∴△∴△ABCABC≌△≌△CDACDA(SSS(SSS).).
∴∴ ∠∠1=1=∠∠4 , 4 , ∠∠ 2= 2=∠∠3.3.
∴∴ADAD∥∥ BCBC,,ABAB∥∥ CD.CD.
∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形..
两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形..
已知：四边形已知：四边形ABCDABCD中，中，∠∠AA==∠∠CC，，∠∠BB==∠∠DD，求证：，求证：
四边四边 形形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形..
AA
BB CC
DD
证明思路
四边形内角和等于360°
∠∠AA==∠∠CC ，，∠∠BB==∠∠DD
∠∠AA++∠∠BB=180=180 °
ADAD////BCBC 同理同理ABAB////CDCD
四边形四边形ABCDABCD
是平行四边形是平行四边形
AA
BB CC
DD∠∠AA==∠∠CC，，∠∠BB==∠∠DD，，
∵∠∵∠AA++∠∠CC++∠∠BB++∠∠DD=360=360 ° ° ，
∴∴22∠∠AA+2+2∠∠BB=360=360°°，，
即即∠∠AA++∠∠BB=180=180 °. °.
∴∴ ADAD∥∥ BCBC，，
∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形..
同理得同理得 ABAB∥∥ CD.CD.
已知：四边形已知：四边形ABCDABCD中，中，OAOA==OCOC，，OBOB==ODOD，，
求证：四边求证：四边 形形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形..
证明：证明： AA
BB CC
DD
OO
对顶角相等对顶角相等..
在在△△AOBAOB和和△△CODCOD中中,,
OAOA==OCOC ( (已知已知),),
OBOB==ODOD ( (已知已知),),
∠∠AOBAOB==∠∠COD COD ((对顶角相等对顶角相等),),
∴△∴△AOBAOB≌△≌△CODCOD(SAS(SAS),),
∴∴ ∠∠BAOBAO==∠∠OCDOCD , , ∠∠ ABOABO==∠∠CDO,CDO,
∴∴ABAB∥∥ CDCD , , ADAD∥∥ BC,BC,
∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形..
对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形..
平行四边形的判定方法：
定义法：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形..
判定定理判定定理2 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形
..
判定定理判定定理33 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形..
判定定理判定定理11 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形
..
知识要点
AA
BB CC
DD
OO
AB=DC AB=DC
AD=BCAD=BC
ABAB∥∥DC DC
ADAD∥∥BCBC ABCDABCD
∠∠ABC=ABC=∠∠ADC ADC
∠∠BAD=BAD=∠∠BCDBCD
OAOA==OC OC
OBOB==ODOD
几何语言描述判定：
ABCDABCD
ABCDABCD
ABCDABCD
例 填空：如图，在四边形ABCD中，
（1）若AB//CD，补充条件 ，使四边形ABCD
为平行四边形；
（2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为
平行四边形；
（3）若对角线 AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，
补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.
提示
紧扣平行四边形的判
定方法补上缺失条件.
AD//BC
AD=BC
OD=5
B
O
DA
C
（4）已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，
补充条件 ，使四边形BFDE是平行四边形.
并加以证明.
O
DA
B C
E
F
AE=CF
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF,
∴AO－AE=CO－CF.
∴EO=FO.
又 BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
想想还有
其他证法吗？
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行
四边形四边形..如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条
件时这个件时这个四边形能成为形能成为平行四边形呢？平行四边形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么
它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形吗？
连接AC.
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
DA
B C
如图，在四边形ABCD中，AB//CD， AB=CD.求证：四
边形ABCD是平行四边形.
证明：
1 2
(
)
判定定理判定定理4 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形形..
AA
BB CC
DD
ABCDABCD
“ ”读作“平行且相等”.
AD AD BCBC
知识要点
平行四边形AEFD和平行四边
形EBCF有一条公共边EF，我们
称它们是共边的两个平行四边形
.根据平行四边形的性质非常容
易得到AD BC.//=
例例 四边形四边形AEFDAEFD和和EBCFEBCF都是平行四边形，都是平行四边形，求证：四边求证：四边
形形ABCD ABCD 是平行四边形是平行四边形..
AA
BB CC
DD
EE FF
你会证了吗你会证了吗
？试试吧！？试试吧！
提示
A
B C
D
E F
证明：∵四边形四边形AEFDAEFD和和EBCFEBCF
都是平行四边形，都是平行四边形，
∴∴ADAD EFEF，，EFEF BCBC..
∴∴AD BC.AD BC.
∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形..
//= //=
//=
从边来判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（一）平行四边形的判定方法(1)
课堂小结
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2）已知有一条对角线被平分，再证另一条对角线被平分，
构成判定定理3.
1）已知一组对角相等，再证另一组对角相等，构成判定定
理2.
（二）证一个四边形是平行四边形的思路：
先找现有条件 再证缺失条件 构成判定方法
（三）平行四边形判定方法的选择方法
3）已知一组对边平行，可以证另一组对边平行，即定义法；
也可证这组对边相等，构成判定定理4.
4）已知一组对边相等，可以证另一组对边相等，构成判定定
理1；也可证这组对边平行，构成判定定理4.
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