资料简介
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第第11课时课时
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，
发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数
量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
毕达哥拉斯
A B
C
看似平淡
无奇的现
象有时却
隐藏着深
刻的道理
情景引入
A B
C
发现: 以等腰直角三角形两直
角边为边长的小正方形的面积的
和，等于以斜边为边长的正方形
的面积.即我们惊奇地发现，等
腰直角三角形的三边之间有一种
特殊的关系：斜边的平方等于两
直角边的平方和.
思考：你能发现图中的等腰直
角三角形有什么性质吗？
合作探究
活动：探究勾股定理与图形的面积
一般直角三角形也有上述性质吗？
A
B
C
图1-1
A
B
C
图1-2
图中每个小方格的面积均
为1，请分别计算出图①、
②中A、B、C的面积，看
看能得出什么结论.
图①
图②
A
B
A
B
C
C
A的
面积
B的
面
积
C的
面
积
图①
图②
16 9 25
4 9 13
正方形面积间的关系：
SA+SB=SC
怎样得到正方形C的面
积？与同伴交流交流．
A
B
C
图1-1
图①
A
B
C
a
b
c
正方形面积间的关系：
SA+SB=SC
猜想：直角三角形三边
之间的关系，即：两直
角边的平方和等于斜边
的平方.
设：直角三角形的三
边长分别是a、b、c
SA+SB=SC
a2+b2=c2
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜
边长为c,那么a2+b2=c2.
a
b
c
我国汉代的数学家赵爽指出：四
个全等的直角三角形如下拼成一个中空
的正方形.
赵
爽
弦
图
c b
a
黄
实
朱实
赵爽
请同学们拿出已准备的四个全等的直角三角形动手拼一拼！
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.这个图案被选为2002年
在北京召开的国际数学大会的会徽.
a
bc
S大正方形＝c2 ,
S小正方形＝（b-a）22 ,
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形,
赵爽弦图
证明：
b-a
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或
百牛定理.
(a、b、c为正数)
勾股定理 如果直角三角形的两直角边
长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾
股
弦
即：勾2+股2=弦2
前提知识要点
例1 求下列直角三角形中未知边的长:
8
x
17 16
20
x
12
5
x
温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长
时，应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快
捷准确！
x=15 x=12 x=13
例2 已知在Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC=
. 5 或
4
3A C
B
4
3C A
B
温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是
斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可
能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则
容易丢解.
⒈是不是所有的三角形的三边关系都满足勾股定理？
⒉在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？
⒊据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种，今
天我们用了什么方法？
4.运用勾股定理应注意哪些事项？
不是
由特殊到一般
面积法
（1）前提是在直角三角形中；
（2）弄清哪个角是直角；
（3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论.
课堂小结
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第第22课时课时
1.叙述勾股定理的内容
2. 矩形的一边长是5，对角线是13，则它的面积是
.
3.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC
的周长为（ ）
（A）42 （B）32
（C）42或32 （D）30或35
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,
那么a2+b2=c2.
60
C
复习引入
问题1 有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水
池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水
池一边,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇
的长度分别是多少?
实际问题 数学问题
实物图形 几何图形
合作探究
活动1：探究勾股定理的应用
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由勾股定理，得
x2+52=(x+1)2
x=12
答：水深12尺，芦苇长13尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程或方程组；
（4）解决实际问题.
知识要点
例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树
在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你
能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
8 米
6
米
8 米
6
米
A
C
B
6
米
8 米
解：在Rt△ABC中，AC=6，
BC=8，
由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高
度是10+6=16（米）.
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明“HL”
′ ′ ′′ ′ ′
证明：在Rt△ABC 和
Rt△A B C 中，∠C=∠C′
=90°，根据勾股定理，得
′′′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中，
∠C=∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ．
求证：△ABC≌△A B C ．
′′ ′
′ ′′
′
′ ′
′′
A
B C
A
BC′
′
′
∴ △ABC≌△A B C （SSS）．
∵ AB=A B ，
AC=A C ，
∴ BC=B C ．
A
B C
A
BC′
′
′
′ ′′
′′
′′
′′
问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的
表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
00 11 22 33 44
探究思路：把握题
意——找关键字词
——联系相关知识
——建立数学模型
（建模）
提示
直角边长为整数2，3的直角
三角形的斜边为 .
活动2：探究用勾股定理在数轴上表示无理数
00 11 22 33 44
解：解： LL
AA
BB
22
CC
“数学海螺”
类比迁移
利用勾股定理作出长为利用勾股定理作出长为 的的线段线段..
11
11
用同样的方法，你能
否在数轴上画出表示
，
， …
的线段
00 22 11 33
5544
11
利用勾股定理表示无理数的方法
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正
整数的直角三角形的斜边.如本题中的 看成直角
边分别为2和3的直角三角形的斜边； 看成是直角边
分别为1和2的直角三角形的斜边等.
（2）以原点O为圆心，以无理数的长为半径画弧与数轴
存在交点，在原点左边的点表示负无理数，在原点右边
的点表示正无理数.
知识要点
1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？
（2）注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到
合适的直角三角形.
数学问题
直角三角形勾股定理
实际问题 转化
构
建
利用
解
决
（1）
2.用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？
构造直角三角形，即把长为无理数的线段看成是两直角边
长都为整数的直角三角形的斜边.
课堂小结
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记