资料简介
8.2 消元——解二元一次方程组/
8.2消元——解二元一次方程组
第一课时
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人教版 数学 七年级 下册
8.2 消元——解二元一次方程组/
代入消元法解二元一次方程组
第一课时
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8.2 消元——解二元一次方程组/
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场
数分别是多少？
(1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程 ；
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
可得二元一次方程组
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
导入新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
1.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2.了解解二元一次方程组的基本思路.
素养目标
3.初步体会化归思想在数学学习中的运用.
8.2 消元——解二元一次方程组/
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上
一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量
各是多少g？
探究新知
知识点 1 代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组/
+ ＝200x y
＝ + 10xy
+10+ ＝200x x
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
x + y = 200
y = x + 10
(x+10)
x +( x +10) = 200
①
②
x = 95 y = 105
∴方程组 的解是y = x + 10
x + y = 200
x = 95，
y =105.
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做
消元思想.
转化
探究新知
求方程组解的过程叫做解方程组.
8.2 消元——解二元一次方程组/
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组 一元一次方程
消元
转化
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法
称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
例1 解方程组 2x+3y=16 ①
x+4y=13 ②
解：由② ，得x=13 - 4y ③
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16
26 –8y +3y =16,
-5y= -10, y=2
将y=2代入③ ，得x=5.
所以原方程组的解是
x=5
y=2
探究新知
素 养 考 点 1 利用代入消元法解二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组/探究新知
归纳总结
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，
将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个
一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解
代入每一个方程看是否成立.
8.2 消元——解二元一次方程组/
1. 用代入法解下列方程组：
解：把①代入②，得
3x+2（ ）=_
解这个方程，得x＝ .
把x＝ 代入①，得y= __
∴原方程组的解是
2x-3 8
2
2
2
1
1
巩固练习
①
（1） ②
8.2 消元——解二元一次方程组/
2
-1
巩固练习
（2）
①
②
2x-5
22x-5
-1
解：由①，得y= … ③
把③代入②，得3x+4（ ）=
解这个方程，得x＝
把x＝ 代入③，得y=
∴原方程组的解是
2
2
8.2 消元——解二元一次方程组/
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶
装（250 g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5．某
厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小
瓶两种产品各多少瓶？
分析：等量关系： (1)大瓶数 小瓶数
(2)大瓶所装消毒液 小瓶所装消毒液
总生产量．
探究新知
素 养 考 点 2 利用二元一次方程组解答实际问题
8.2 消元——解二元一次方程组/
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
根据题意可
列方程组：
③①由 得：
把 代入 得：③ ②
解得：x=20000
把x=20000代入 得：y=50000③
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
①
②î
í
ì
=+
=
22500000250500
25
yx
yx
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
二
元
一
次
方
程
组
消去 一元一次方程
变形
代入 解得
解得
用 代替 ，消去未知数
50 000y =
代入消元法的思路
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/探究新知
方法点拨
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数
系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对
值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
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累死
我了
真的
?!他们各驮
多少包裹
?
巩固练习
2.根据对话解答问题. 你还累?这么大的个
才比我多驮两个.
哼,我从你背上拿来一
个,我的包裹数就是你
的2倍!
8.2 消元——解二元一次方程组/
解：设马驼了x个包裹，骆驼驼了y个包裹，由题意得：
解得：
答：马驼了5个包裹，骆驼驼了7个包裹.
巩固练习
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解： ，
由①得，x＝y+1 ③ ，
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2，
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为 ．
巩固练习
连 接 中 考
①
②
（2019•广州）解方程组：
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1.二元一次方程组 的解是（ ） D
课堂检测
基 础 巩 固 题
A．
C．
B．
D.
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2.下列是用代入法解方程组
①
② 的开始
步骤，其中最简单、正确的是（ ）
A.由①，得y=3x-2 ③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2).
B.由①，得 ③，把③代入②，得 .
C.由②，得 ③，把③代入①，得 .
D.把②代入 ①，得11-2y-y=2，(把3x看作一个整体)
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
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3.把下列方程分别用含x的式子表示y，含y的式子表示x：
（1）2x－y＝3 （2）3x＋2y＝1
课堂检测
基 础 巩 固 题
解
:
（1）
（2）
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4.解方程组 3x+2y=14 ①
x-y=3 ②
所以原方程组的解是
x=4
y=1
解：由②变形得x=y+3③
将③代入① ，得3（y+3）+2y=14
3y+9+2y=14
将y=1代入②，得 x=4
5y=5，y=1
课堂检测
基 础 巩 固 题
8.2 消元——解二元一次方程组/
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分.负
一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中
得到35分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设胜的场数是x，负的场数是y,可列方程组：
由①得y=20-x . ③
将③代入②,得 2x+20-x=35 .
解得 x=15.
将 x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是
答：这个队胜15场，负5场.
①
②
能 力 提 升 题
课堂检测
8.2 消元——解二元一次方程组/
李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利
18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利
1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解: 设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
x+y=10 ①
2000x+1500y=18000 ②
由①得y=10-x . ③
将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 .
解得 x=6.将x=6代入③，得y=4.
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.
拓 广 探 索 题
课堂检测
8.2 消元——解二元一次方程组/
解二元一
次方程组
基本思路“消元
”
代入法解二元一次方
程组的一般步骤
课堂小结
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加减法解二元一次方程组
第二课时
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8.2 消元——解二元一次方程组/
一个长方形的周长是50cm，长比宽多5cm,设长为xcm,
宽为ycm，可列出的二元一次方程组是
x – y = 5 ①
2x+ 2y = 50 ②
上面方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
导入新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
2.熟练运用消元法解简单的二元一次方程组.
1.掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
素养目标
3.培养学生的分析能力，能迅速根据所给的二
元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组.
8.2 消元——解二元一次方程组/
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
探究新知
知识点 1 加减法解二元一次方程组加减法解二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组/
把②变形得：
代入①，不就消去x了！
小
彬
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
把②变形得
可以直接代入①呀！
小明
探究新知
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（3x＋5y）+（2x－5y）＝ 21 + (－11)
3x+5y = 21
2x－5y = -11
和
互为相反数
……
按小丽的思路，你能消去
一个未知数吗？
小丽
分析：
，①
. ②
①左边 + ②左边 = ①右边 + ②右边
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/探究新知
把x＝2代入①，得y＝3，
的解是所以
x＝2
3x+5y+2x－5y＝10
5x+0y＝10
5x＝10
8.2 消元——解二元一次方程组/
2x-5y=7，①
2x+3y=-1. ②
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢
？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相
等，即都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就
可以消去未知数x，得到一个一元一次方程．
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
解：由 ②－①得：8y＝－8
y＝－1
把y =-1代入①，得
2x－5×（-1）＝7
解得：x＝1
所以原方程组的解是
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
上面这些方程组的特点是什么？
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
主要步骤：
特点：
基本思路：
写解
求解
加减
二元 一元.加减消元：
消去一个元；
分别求出两个未知数的值；
写出原方程组的解.
同一个未知数的系数相同或互为相反数.
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
例1 解下列二元一次方程组
解：由②-①得：
解得：
把 代入①，得： 注意:要检验哦!
解得：
所以方程组的解为
方程①、②中未知
数x的系数相等，
可以利用两个方程
相减消去未知数x.
探究新知
素 养 考 点 1 加减法解系数相等的二元一次方程组加减法解系数相等的二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组/
①
②
3x+2y=23
5x+2y=331.解方程组
解：由②－①得:
将x=5代入①得：15+2y=23
y=4.
所以原方程组的解是
x=5
y=4
2x=10
x=5.
与前面的代入法
相比，是不是更
加简单了！
巩固练习
8.2 消元——解二元一次方程组/
3x +10 y=2.8 ①
15x -10 y=8 ②
解：把 ①+②得: 18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得：
3×0.6+10y＝2.8
解得:y＝0.1
例2 解方程组
所以这个方程组的解是
x=0.6
y=0.1
探究新知
素 养 考 点 2 加减法解系数为相反数的二元一次方程组加减法解系数为相反数的二元一次方程组
互为相反数
相加
同一未知数的
系数 _
时，把两个方程
的两边分别
！
8.2 消元——解二元一次方程组/
①
②
解:由①+②得:
把x＝2代入①，得：
y=3
x=2
所以原方程组的解是
5x=10
:解二元一次方程组2.
巩固练习
8.2 消元——解二元一次方程组/
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法
,简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或
相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相
减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进
而求得二元一次方程组的解.
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
例3 用加减法解方程组：
①
②
解: ①×2得: 4x - 6y ＝8 ③
③ + ②得： 7x ＝14
x ＝2
把x ＝1代入①，得： y ＝0
∴原方程组的解是 x ＝2
y ＝0｛
探究新知
素 养 考 点 3 加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组/
同一未知数的系数 时，利等
式的性质，使得未知数的系数 .
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
3.用加减法解方程组:
①
②
①×3得：
所以原方程组的解是
解：
③-④得: y=2
把y＝2代入①，
解得: x＝3
②×2得：
6x+9y=36 ③
6x+8y=34 ④
巩固练习
8.2 消元——解二元一次方程组/
解： ②×4得：
所以原方程组的解为
①4.解方程组：
②
③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
4x-4y=16
巩固练习
8.2 消元——解二元一次方程组/
例4 2台大收割机和5台小收割机均工作2h共收割小麦3.6 hm2
，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8 hm2.1
台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
分析：题目中存在的两个等量关系：
2×（2台大收割量+5台小收割量）=______
5×（3台大收割量+2台小收割量）=______
3.6hm2
8hm2
知识点 2 列二元一次方程组解实际问题列二元一次方程组解实际问题
探究新知
8.2 消元——解二元一次方程组/
3.6整理，得
解：设一台大收割机和一台小收割机每小时各收割小麦x hm2
和y hm2.根据题意，得
②-①，得 __________
解得 x=_______
把x=_____ 代入①，得
y=_______
∴这个方程组的解为
答：一台大收割机和一台小收割机每小时分别收割小麦0.4hm2和
0.2hm2
4x+10y
15x+10y 8
11x=4.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
探究新知
3.6
3x+2y 8
2x+5y
①
②
8.2 消元——解二元一次方程组/探究新知
归纳总结
利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是：
（1）依题意，找________关系；
（2）根据等量关系设_______；
（3）列__________；
（4）解__________；
（5）检验并作答.
等量关系
未知数
方程组
方程组
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5.一条船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时
行16km，求轮船在静水中的速度与水的速度.
巩固练习
解：设轮船在静水中的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h
由题意得：
解得
答：轮船在静水中的速度为18km/h，水流的速度为2km/h.
8.2 消元——解二元一次方程组/
1.（2019•贺州）已知方程组 ，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
巩固练习
连 接 中 考
2.（2019•菏泽）已知 是方程组 的解 ，
则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
C
A
8.2 消元——解二元一次方程组/
1.方程组 的解是 ．①
②
2. 用加减法解方程组 6x+7y=－19①
6x-5y=17 ② 应用（ ）
A.①-②消去y B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
8.2 消元——解二元一次方程组/
（1） （2）
解：①－②得2x=4，x=2
把x=2代入②得
2+2y=4，2y=2
y=1
所以方程组的解是
解：①+②得4x=12，x=3
把x=3代入②得
3+y=4，y=1
所以方程组的解是
3.解方程组
课堂检测
基 础 巩 固 题
8.2 消元——解二元一次方程组/
4.已知x、y满足方程组 求代数式x－y的值．
解：
②-①得2x－2y＝－1－5，
得x－y＝－3.
①
②
课堂检测
基 础 巩 固 题
8.2 消元——解二元一次方程组/
①
② 解方程组
解：由① + ②，得 4(x+y)=36
所以 x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
所以 x-y=4 ④
解由③④组成的方程组
解得
法二：
整理得
能 力 提 升 题
课堂检测
8.2 消元——解二元一次方程组/
2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡
车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨, 那么1辆大卡车和1辆
小卡车每小时各运多少吨垃圾？
解：设1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运x吨和y吨垃圾.
根据题意可得方程组：
化简可得： ①
②
②-①得 11x=44，解得x=4.
将x=4代入①可得y=2. 因此这个方程组的解 .
答：1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运4吨和2吨垃圾.
课堂检测
拓 广 探 索 题
8.2 消元——解二元一次方程组/
解二元一
次方程组
基本思路“消元
”
加减法解二元一次
方程组的一般步骤
课堂小结
8.2 消元——解二元一次方程组/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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