资料简介
16.2二次根式的乘除
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
二次根式的乘法
第一课时
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导入新知
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm
，宽为 cm，则它的面积是多少呢？
如何计算 ？
1. 掌握二次根式乘法法则.
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平
方根的性质进行简单运算.
素养目标
(1) =
___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
2 3 6
4 5 20
5 6 30
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1 二次根式的乘法二次根式的乘法
(2) =
___×___=____;(3) =
___×___=____;
=_________;
=_________.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的
规律吗？
猜测：
探究新知
不成立！
探究新知
【思考】
成立吗
？
没有意义
！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则是:
二次根式相乘，________不变，________相乘.根指数 被开方数
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，
如果没有特
别说明，所
有的字母都
表示正数．
探究新知
例1 计算:
解:
探究新知
素 养 考 点 1 简单的二次根式的乘法运算
（1） （2）
(1)
(2)
【想一想】下边的式子如何运算？
解:
探究新知
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，
说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上
的二次根式相乘（
）
可先用乘法结合律，
再运用二次根式的乘
法法则
A. B.
C. D.
1.计算 的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
C
2.下面计算结果正确的是( ) B
3.计算： ____. 20
巩固练习
【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算4a2·5a4= .20a6
探究新知
例2 计算:
解:
探究新知
素 养 考 点 2 因数不是1二次根式的乘法运算
总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即
（1） （2）
(1)
可类比前
面的计算
哦！
(2)
探究新知
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外
的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
4.计算：
巩固练习
解：
=20×18=360
(1) (2)
(2)(1)
解：(1)方法一：
∵ ， ，
方法二：
∵ ，
，
探究新知
素 养 考 点 3 二次根式的大小比较
例3 比较大小:（1） 与
∴ ，
∴ ，
即 .又∵20＜27，
又∵20＜27， 即 .
解：(2)∵ ，
，
又∵52＜54，
∴ ，
∴ ,即
探究新知
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
（2） 与
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都
是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的
近似值，再进行比较．
巩固练习
5.比较下列各组数的大小.
(1) 和 ; (2) 和 ;
解： ∵ >0, >0,且（ ）2=98, （ ）2=99,(1)
∴（ ）2 < （ ）2 ,又∵98
∴ > .
反过来，就得到：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般地：
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算
术平方根的积.
探究新知
知识点 2 二次根式的乘法法则的逆用
例4 化简：
（1） ；（2） ．
(2)中4a2b3含有
像4，a2，b2，这
样开的尽方的因
数或因式，把它
们开方后移到根
号外.
探究新知
素 养 考 点 1 利用二次根式的乘法法则的逆用计算
=
解：（1）
= 4 ×9
=36
（2）
=
=
=
6.化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数
（或平方式）从根号里开出来。
巩固练习
（1） （2） （3）
解: （1
）
（2
）
（3
）
例5 计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
探究新知
素 养 考 点 2 利用二次根式的乘法法则及逆用计算
解：（1）
（2）
（3）
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
巩固练习
7.计算：（1）
解：原式= =30
（2
）
解：原式=
巩固练习
连 接 中 考
B（2019•株洲） ＝（ ）
A． B．4 C． D．
1.下面计算结果正确的是 ( )
A. B.
C. D.
D
基 础 巩 固 题
2.若 ，则（ ）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
A
课堂检测
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”
“＜” 或“=”）：
＞ ＜
3. 计算：
（1） =______ （2） =______
（3） =______
（1） ___ （2） ___
基 础 巩 固 题
课堂检测
5. 计算：
解：
（1） （2）
（1）
=12×13
=156 =a2
基 础 巩 固 题
课堂检测
（2）
6.计算：
课堂检测
（1） （2）
解：（1） （2）
基 础 巩 固 题
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若
长为 ，宽为 ，求出它的面积.
解：它的面积为
能 力 提 升 题
课堂检测
2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
(1)已知 , ，求S；
解： S = ab =
（2）已知 , ，求S.
课堂检测
能 力 提 升 题
=
（1） S = ab = （2）
=240
=
=
=
=
（1） ；（2） ．
1. 化简：
解：
（1）
拓 广 探 索 题
课堂检测
（2）
2.已知 试着用a, b表示 .
解：
课堂检测
拓 广 探 索 题
又
二次根式
乘 法
法 则
性 质
拓展法则
课堂小结
二次根式的除法和最简二次根式
第二课时
返回
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，
它们近似地符合公式为 .
解：
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到
的水平线的距离d1是多少？
导入新知
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到
的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
解：
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢
？除法有没有类似的法则？
导入新知
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简
单运算.
1. 掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
素养目标
3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二
次根式化为最简二次根式.
(1) ___÷___=____; = _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2 3
4 5
6 7
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1 二次根式的除法二次根式的除法
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次
根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗
？
特殊 一般
探究新知
在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限
制呢？
a,b同号
就可以啦
探究新知
你们都错啦，a≥0
，b＞0,b=0时等式
两边的二次根式就
没有意义啦
不对，同乘法法
则一样，a,b都为
非负数.
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除
以单项式法则，易得
探究新知
例1 计算：
解:
探究新知
素 养 考 点 1 利用二次根式的除法法则计利用二次根式的除法法则计算算根根号号外因数是外因数是
11的二次根式的二次根式
提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法
再进行运算.
（1） （2）
（1）
（2）
1.计算：
解：
巩固练习
（1） （2） （3）
（1）
（2）
（3）
解:
探究新知
素 养 考 点 2
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
利用二次根式的除法法则计利用二次根式的除法法则计算根号算根号外因数不是外因数不是
11的二次根式的二次根式
例2 计算: （1） （2）
（1）
（2）
2.计算，看谁算的既对又快.
巩固练习
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以
除式的算术平方根.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平
方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
探究新知
知识点 2 商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质
解:
补充解法：
探究新知
素 养 考 点 1 商的算术平方根的性质的应用商的算术平方根的性质的应用
例3 化简: （1） （2）
（1）
（2）
还有其它解
法吗?
解：
探究新知
提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算
术平方根性质.
（3） （4） （5）
（3） （4）
（5）
C
巩固练习
3.能使等式 成立的条件是 ( )
A. x≥0 B. －3＜x≤0
C. x＞3 D. x＞3或x＜0
4.化简：
（1） =_____
（2） =_____
（3） =_____
（4） =_____
解：（1）
（2）
问题1 计算： （1） （2） （3） ．
（3） ．
探究新知
知识点 3 最简二次根式最简二次根式
问题2 观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一
个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
探究新知
探究新知
归纳总结
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含____________；
(2)被开方数中不含____________的因数或因式.
注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，
然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，
若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简
二次根式.
二次根式
开得尽方
解:
探究新知
素 养 考 点 1 分母有理化分母有理化
总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使
分母不含根号.
例4 计算: (1) (2) (3)
（2）
（3）
（1）
探究新知
方法点拨
化成最简二次根式的一般方法
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,
如 ;
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,
再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如
;
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 .
5.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式；
巩固练习
（1） （2） （3） （4） （5）
(1)
(4)
(2)
(5)
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已
知 ，求a的值.
解:∵
知识点 4 二次根式的应用二次根式的应用
探究新知
∴
6. 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个
30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可
以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足
公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空
抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
巩固练习
1.（2018•绵阳）等式 成立的x的取值范
围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
连 接 中 考
B
2.（2019•河池）下列式子中，为最简二次根式的
是（ ）
A． B． C． D．
B
1.化简 的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.能使等式 成立的x的取值范围是（ ）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2
C
4.化简：
解：
课堂检测
（1
）
（3
）
（2
）
（1
）
（2
）
（3
）
基 础 巩 固 题
在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)
，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示
时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若
W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400，R=100，t=15时，
课堂检测
能 力 提 升 题
（安培）
自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次
根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错
了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，
好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗
？
按 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0
；
课堂检测
拓 广 探 索 题
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
而按 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
二次根式
除 法
法 则
性 质
拓展法则
相 关 概 念
分 母 有 理 化
最 简 二 次 根 式
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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